Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +2 µC e +4 µC distano 80 cm. A quale distanza x dalla carica di +2 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +2 µCq₂ = +4 µCd = 80 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 10 µC si trova a 10 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 1 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 1 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 10 ms.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 3 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 9,3 V? Trova t.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una particella alfa si muove a 5 × 10⁵ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,2 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sB = 0,2 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 10000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,1 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,1 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩC = 47 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 1 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 1 V (rms)R = 2 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 33,14 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

2/x² = 4/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(4/2) = 1,414

Posizione

x = 80/(1 + 1,414) = 33,14 cm

Risposta

x = 33,14 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 54,21 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,1² = 53,94 N

F₂ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

Somma vettoriale

F = √(53,94² + 5,394²) = 54,21 N

Risposta

F = 54,21 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,759 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 10 + 20 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 4·30/(4+30) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 5 + 3,529 = 8,529 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,529 = 1,759 A

Risposta

I_R1 = 1,759 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 6,819 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 6,171 Ω

R₃ + 6,171 = 16,17 Ω

R₂ ∥ 16,17 = 3,819 Ω

R_eq = R₁ + 3,819 = 3 + 3,819 = 6,819 Ω

Risposta

R_eq = 6,819 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2425 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2727·(1 − e^−10/4,545) = 0,2425 A

Risposta

i = 0,2425 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 11,77 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

9,3 = 24 + (−21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,3 − 24)/(3 − 24) = 0,7

t = τ·ln((3 − 24)/(9,3 − 24)) = 33·ln(1,429) = 11,77 ms

Risposta

t = 11,77 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 5,185 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,05185 m = 5,185 cm

Risposta

r = 5,185 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 14,45 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 1,384 × 10⁶ m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,1445 m = 14,45 cm

Risposta

r = 14,45 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 3,206 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

I_R = V/R = 120/50 = 2,4 A

I_X = V/X_C = 120/56,44 = 2,126 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 2,126²) = 3,206 A

Risposta

I = 3,206 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 35,36 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 1/2 = 0,5 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·70,71 = 35,36 V

Risposta

V_L = 35,36 V

Questo è Q = 35,36 volte la tensione di alimentazione.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism