Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +8 µC e una carica di +6 µC si trovano a 30 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 12 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 6 cm e il campo tra di esse è 4800 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,2 A? Trova t.

i(0) = 2 AR = 68 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 12 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 250 ms.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 12 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 200 spire, area 200 cm² e resistenza 8 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,2 T a 0,4 T in 100 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 200A = 200 cm²B: 0,2 T → 0,4 TΔt = 100 msR = 8 Ω

I = A

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 5000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,3 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,3 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 3,33 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,12² = 4,994 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,18² = 1,665 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |4,994 × 10⁶ − 1,665 × 10⁶| = 3,33 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 3,33 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 3,799 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,06/2 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4800/9,109 × 10⁻³¹ = 8,442 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·8,442 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,003799 m = 3,799 mm

Risposta

y = 3,799 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,102 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8,889 Ω

R_eq = R₁ + 8,889 = 2 + 8,889 = 10,89 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10,89 = 1,102 A

Risposta

I_R1 = 1,102 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,6762 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 3,214 Ω

R₃ + 3,214 = 9,214 Ω

R₂ ∥ 9,214 = 2,789 Ω

R_eq = R₁ + 2,789 = 12 + 2,789 = 14,79 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14,79 = 0,6762 A

Risposta

I_R1 = 0,6762 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 7,45 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms

Risolvi per il tempo

0,2 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,2)

t = 3,235·ln(10) = 7,45 ms

Risposta

t = 7,45 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 18,5 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 20 + (12 − 20)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(250) = 20 + (−8)·e^−250/149,6 = 18,5 V

Risposta

v_C = 18,5 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 1 A

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,4 − 0,2)·0,02 = 0,004 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,004/0,1 = 8 V

Corrente

I = ε/R = 8/8 = 1 A

Risposta

I = 1 A

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 4,816 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,04816 m = 4,816 cm

Risposta

r = 4,816 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −61,04 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−45,17)²) = 51,63 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−45,17/25) = −61,04°

Risposta

φ = −61,04°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 12,96 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (556)²) = 558,2 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 100/558,2 = 0,1791 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,1791·72,34 = 12,96 V

Risposta

V_C = 12,96 V

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