Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC−−3 µCP10 cm

Una carica di +2 µC e una carica di −3 µC si trovano a 10 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 6 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +2 µCq2 = −3 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
5 cm4 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +4 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 2 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 10 µC si trova a 5 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 10 µCq2 = 4 µCq3 = 2 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​2 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 ΩR4 = 12 ΩR5 = 12 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 4,7 kΩC220 µF+−vC​

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore vC in t = 400 ms.

Vs = 30 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 24 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 16,5 V? Trova t.

Vs = 9 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 10 cm², N = 200B = 0,1 T

Una bobina di 200 spire ha un’area di 10 cm². La bobina si trova in un campo uniforme di 0,1 T perpendicolare al suo piano, e il campo viene spento in 100 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 200A = 10 cm²B = 0,1 TΔt = 100 ms
ε = mV
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = ?5 cm × 5 cmN = 50B = 0,25 T

Una bobina di 50 spire, 5 cm × 5 cm, ruota in un campo uniforme di 0,25 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 8,33 V?

N = 50A = 5 cm × 5 cmB = 0,25 TErms = 8,33 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
24 V500 HzR = 15 ΩC = 22 µFI

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩC = 22 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
50 V50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 50 Hz. Trova la tensione efficace VC ai capi del condensatore.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,185 × 10⁷ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,06² = 4,994 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,04² = 1,686 × 10⁷ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |4,994 × 10⁶ + 1,686 × 10⁷| = 2,185 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 2,185 × 10⁷ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 84,81 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·10·2 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N
F2 = k·4·2 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

Somma vettoriale

F = √(71,92² + 44,95²) = 84,81 N

Risposta

F = 84,81 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,6707 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 6·27/(6+27) = 4,909 Ω
Req = R1 + 4,909 = 10 + 4,909 = 14,91 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 10/14,91 = 0,6707 A

Risposta

IR1 = 0,6707 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,4845 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 12 + 2 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 6,462 Ω
R3 + 6,462 = 31,46 Ω
R2 ∥ 31,46 = 10,16 Ω
Req = R1 + 10,16 = 15 + 10,16 = 25,16 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 18/25,16 = 0,7155 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0,7155·15 = 7,268 V
IR2 = VA/R2 = 7,268/15 = 0,4845 A

Risposta

IR2 = 0,4845 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 5,887 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ
vC(∞) = 30·4,7/(6,8 + 4,7) = 12,26 V

Costante di tempo

τ = Rth·C = 2,779·220 = 611,4 ms

Curva di carica

vC(t) = 12,26·(1 − e−400/611,4) = 5,887 V

Risposta

vC = 5,887 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 693,1 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 9 + (24 − 9)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

16,5 = 9 + (15)·e−t/τ → e−t/τ = (16,5 − 9)/(24 − 9) = 0,5
t = τ·ln((24 − 9)/(16,5 − 9)) = 1000·ln(2) = 693,1 ms

Risposta

t = 693,1 ms
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 200 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 0,1·0,001 = 0,0001 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0001/0,1 = 0,2 V

Risposta

ε = 200 mV
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 3600 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·Erms = 11,78 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 11,78/(50·0,25·0,0025) = 377 rad/s

Giri al minuto

n = 60·377/(2π) = 3600 rpm

Risposta

n = 3600 rpm
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 2,305 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

IR = V/R = 24/15 = 1,6 A
IX = V/XC = 24/14,47 = 1,659 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(IR² + IX²) = √(1,6² + 1,659²) = 2,305 A

Risposta

I = 2,305 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: VC = 69,69 V

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−66,15)²) = 103,8 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/103,8 = 0,4817 A

Tensione sul condensatore

VC = I·XC = 0,4817·144,7 = 69,69 V

Risposta

VC = 69,69 V

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