Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +5 µC e una carica di +2 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 25 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +5 µCq₂ = +2 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 3 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 3 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 20 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 17 V? Trova t.

V_s = 15 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un’asta metallica lunga 40 cm scorre a 8 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,8 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la potenza P dissipata nel resistore.

B = 0,8 TL = 40 cmv = 8 m/sR = 5 Ω

P = W

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Due bobine con autoinduttanze di 20 mH e 20 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,3. La corrente nella prima bobina varia a 100 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L₁ = 20 mHL₂ = 20 mHk = 0,3di/dt = 100 A/s

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 200 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 431520 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,25² = 719200 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,25² = 287680 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |719200 − 287680| = 431520 N/C

Risposta

E = 431520 N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 243,9 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

F₂ = k·3·6 × 10⁻¹²/0,06² = 44,95 N

Somma vettoriale

F = √(239,7² + 44,95²) = 243,9 N

Risposta

F = 243,9 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,8333 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 2 + 5,714 = 7,714 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,714 = 1,167 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,167·2 = 6,667 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,667/8 = 0,8333 A

Risposta

I_R2 = 0,8333 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 3,52 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 8,333 Ω

R₂ ∥ 8,333 = 6,522 Ω

R_eq = R₁ + 6,522 = 2 + 6,522 = 8,522 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8,522 = 3,52 A

Risposta

I_R1 = 3,52 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,09933 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1·(1 − e^−1/0,2) = 0,09933 A

Risposta

i = 0,09933 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 292,8 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 15 + (20 − 15)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

17 = 15 + (5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17 − 15)/(20 − 15) = 0,4

t = τ·ln((20 − 15)/(17 − 15)) = 319,6·ln(2,5) = 292,8 ms

Risposta

t = 292,8 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: P = 1,311 W

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,8·0,4·8 = 2,56 V

Corrente

I = ε/R = 2,56/5 = 0,512 A

Potenza

P = εI = 2,56·0,512 = 1,311 W

Risposta

P = 1,311 W

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 0,6 V

Mutua induttanza

M = 0,3·√(20·20) = 6 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,006·100 = 0,6 V

Risposta

ε = 0,6 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 82,06 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (215,2)²) = 217,2 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(215,2/30) = 82,06°

Risposta

φ = 82,06°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,8474 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−138,4)²) = 141,6 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/141,6 = 0,8474 A

Risposta

I = 0,8474 A

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