Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++1 µC−−6 µCP50 cm

Una carica di +1 µC e una carica di −6 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 25 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +1 µCq2 = −6 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
4 cm3 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +6 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 4 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 10 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 6 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 10 µCq2 = 6 µCq3 = 4 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione vL ai capi dell’induttore in t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 4,7 V? Trova t.

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 8 Ωv = 2 m/sL = 60 cmB = 0,1 T

Un’asta metallica lunga 60 cm scorre a 2 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,1 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 8 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la potenza P dissipata nel resistore.

B = 0,1 TL = 60 cmv = 2 m/sR = 8 Ω
P = mW
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = ?10 cm × 10 cmN = 200B = 0,05 T

Una bobina di 200 spire, 10 cm × 10 cm, ruota in un campo uniforme di 0,05 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 22,21 V?

N = 200A = 10 cm × 10 cmB = 0,05 TErms = 22,21 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
50 V500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 500 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
24 V100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,007 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,25² = 143840 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,25² = 863040 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |143840 + 863040| = 1,007 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,007 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 328,6 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·10·4 × 10⁻¹²/0,04² = 224,7 N
F2 = k·6·4 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Somma vettoriale

F = √(224,7² + 239,7²) = 328,6 N

Risposta

F = 328,6 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 1,147 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 15 + 4 = 19 Ω
R2 ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9,744 Ω
Req = R1 + 9,744 = 3 + 9,744 = 12,74 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/12,74 = 2,354 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,354·3 = 22,94 V
IR2 = VA/R2 = 22,94/20 = 1,147 A

Risposta

IR2 = 1,147 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 15,02 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​20 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 6 + 20 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 9,512 Ω
R3 + 9,512 = 13,51 Ω
R2 ∥ 13,51 = 5,025 Ω
Req = R1 + 5,025 = 10 + 5,025 = 15,02 Ω

Risposta

Req = 15,02 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: vL = 1,181 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0,2128 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/0,4681 = 1,181 V

Risposta

vL = 1,181 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 2649 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

4,7 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,7 − 5)/(4 − 5) = 0,3
t = τ·ln((4 − 5)/(4,7 − 5)) = 2200·ln(3,333) = 2649 ms

Risposta

t = 2649 ms
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: P = 1,8 mW

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,1·0,6·2 = 0,12 V

Corrente

I = ε/R = 0,12/8 = 0,015 A

Potenza

P = εI = 0,12·0,015 = 0,0018 W

Risposta

P = 1,8 mW
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 2999 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·Erms = 31,41 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 31,41/(200·0,05·0,01) = 314,1 rad/s

Giri al minuto

n = 60·314,1/(2π) = 2999 rpm

Risposta

n = 2999 rpm
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 1,824 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

XL = 157,1 Ω, XC = 14,47 Ω

Impedenza

|Z| = √(15² + (142,6)²) = 143,4 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 50/143,4 = 0,3487 A
P = I²·R = 0,3487²·15 = 1,824 W

Risposta

P = 1,824 W
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,5837 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−9,511)²) = 41,12 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 24/41,12 = 0,5837 A

Risposta

I = 0,5837 A

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