Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +4 µC e +2 µC distano 50 cm. A quale distanza x dalla carica di +4 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCd = 50 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 2 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 40 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 15° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 40 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la costante di tempo τ del circuito dopo la chiusura dell’interruttore.

V_s = 20 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µF

τ = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 100 ms.

V_s = 6 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 100 spire ha un’area di 25 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 40 ms in un campo uniforme di 0,3 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 100A = 25 cm²B = 0,3 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 250 spire, 12 cm × 15 cm, ruota in un campo uniforme di 0,1 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 9,996 V?

N = 250A = 12 cm × 15 cmB = 0,1 TE_rms = 9,996 V

n = rpm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 100 Ω, L = 100 mH e C = 0,047 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0,047 µF

B = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 29,29 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

4/x² = 2/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(2/4) = 0,7071

Posizione

x = 50/(1 + 0,7071) = 29,29 cm

Risposta

x = 29,29 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 158,3 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 15° = 0,005257 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 15° = 0,2071 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2071·√(0,005257/8,99 × 10⁹) = 1,583 × 10⁻⁷ C = 158,3 nC

Risposta

q = 158,3 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 9,444 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 5 + 4,444 = 9,444 Ω

Risposta

R_eq = 9,444 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 3,951 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 5 + 3 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 10,8 Ω

R₂ ∥ 10,8 = 1,688 Ω

R_eq = R₁ + 1,688 = 6 + 1,688 = 7,688 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/7,688 = 4,683 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 4,683·6 = 7,902 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,902/2 = 3,951 A

Risposta

I_R2 = 3,951 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: τ = 200 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·10/(1 + 10) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 20·10/(1 + 10) = 18,18 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 0,9091·220 = 200 ms

Risposta

τ = 200 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 13,69 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(100) = 6 + (12)·e^−100/224,4 = 13,69 V

Risposta

v_C = 13,69 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 3,75 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 2·0,3·0,0025 = 0,0015 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0015/0,04 = 3,75 V

Risposta

ε = 3,75 V

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 300 rpm

F.e.m. di picco

E₀ = √2·E_rms = 14,14 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 14,14/(250·0,1·0,018) = 31,41 rad/s

Giri al minuto

n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm

Risposta

n = 300 rpm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −5,59 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−4,894)²) = 50,24 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4,894/50) = −5,59°

Risposta

φ = −5,59°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: B = 159,2 Hz

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,047·10⁻⁶)) = 2322 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,1/(0,047·10⁻⁶)) = 14,59

Larghezza di banda

B = f₀/Q = 2322/14,59 = 159,2 Hz

Risposta

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism