Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +1 µC e una carica di +6 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 15 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 5 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 40 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 5° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 40 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 2 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 12 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 9 V, esattamente 50 ms dopo l’avvio. Con R = 10 kΩ, trova la capacità C necessaria.

V_s = 12 VV_th = 9 VT = 50 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 50 spire ha un’area di 200 cm². La bobina si trova in un campo uniforme di 0,4 T perpendicolare al suo piano, e il campo viene spento in 20 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 50A = 200 cm²B = 0,4 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 2000 spire, una lunghezza di 15 cm e un diametro di 2,5 cm. Trova la sua autoinduttanza L.

N = 2000l = 15 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 200 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,118 × 10⁷ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |399556 − 2,158 × 10⁷| = 2,118 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 2,118 × 10⁷ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 48,17 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 5° = 0,004291 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 5° = 0,06972 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06972·√(0,004291/8,99 × 10⁹) = 4,817 × 10⁻⁸ C = 48,17 nC

Risposta

q = 48,17 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 23,33 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 20 + 3,333 = 23,33 Ω

Risposta

R_eq = 23,33 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 5,7 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 5,652 Ω

R₃ + 5,652 = 9,652 Ω

R₂ ∥ 9,652 = 3,7 Ω

R_eq = R₁ + 3,7 = 2 + 3,7 = 5,7 Ω

Risposta

R_eq = 5,7 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2107 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3·(1 − e^−2/1,65) = 0,2107 A

Risposta

i = 0,2107 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 3,607 µF

Costante di tempo richiesta

9 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 9))

τ = 50/1,386 = 36,07 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 36,07/10 = 3,607 µF

Risposta

C = 3,607 µF

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 20 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 0,4·0,02 = 0,008 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,008/0,02 = 20 V

Risposta

ε = 20 V

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: L = 16,45 mH

Sezione trasversale

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,0004909/0,15 = 0,01645 H = 16,45 mH

Risposta

L = 16,45 mH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,9083 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (117,7)²) = 132,1 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/132,1 = 0,9083 A

Risposta

I = 0,9083 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 8,619 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (46,09)²) = 92,33 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/92,33 = 0,1083 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,1083·79,58 = 8,619 V

Risposta

V_C = 8,619 V

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