Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +4 µC e +8 µC distano 50 cm. A quale distanza x dalla carica di +4 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +4 µCq₂ = +8 µCd = 50 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 2 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 8 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la costante di tempo τ del circuito dopo la chiusura dell’interruttore.

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Trova la corrente dell’induttore i a t = 5 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 22 mHt = 5 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove verso l’alto in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica su di esso.

v: verso l’altoB: verso l’esterno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 2000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,3 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,3 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 5 Ω, L = 10 mH e C = 0,47 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 20,71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

4/x² = 8/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(8/4) = 1,414

Posizione

x = 50/(1 + 1,414) = 20,71 cm

Risposta

x = 20,71 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 81,2 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·4·2 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,1² = 14,38 N

Somma vettoriale

F = √(79,91² + 14,38²) = 81,2 N

Risposta

F = 81,2 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 8,333 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 5 + 3,333 = 8,333 Ω

Risposta

R_eq = 8,333 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 13,69 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 4,909 Ω

R₃ + 4,909 = 10,91 Ω

R₂ ∥ 10,91 = 1,69 Ω

R_eq = R₁ + 1,69 = 12 + 1,69 = 13,69 Ω

Risposta

R_eq = 13,69 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: τ = 82,46 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ

v_C(∞) = 30·4,7/(1 + 4,7) = 24,74 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 0,8246·100 = 82,46 ms

Risposta

τ = 82,46 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 1,407 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 15/(10 + 15) = 0,6 A

i(∞) = 15/10 = 1,5 A

τ = L/R = 22/10 = 2,2 ms

i(t) = 1,5 + (0,6 − 1,5)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(5) = 1,5 + (−0,9)·e^−5/2,2 = 1,407 A

Risposta

i = 1,407 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso destra

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

v: verso l’alto, B: verso l’esterno della pagina

Verso della forza

verso destra

Risposta

F: verso destra

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 3,046 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 437752 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,03046 m = 3,046 cm

Risposta

r = 3,046 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 43,05 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (46,71)²) = 68,42 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(46,71/50) = 43,05°

Risposta

φ = 43,05°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 29,17

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,47·10⁻⁶)) = 2322 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(0,47·10⁻⁶)) = 29,17

Risposta

Q = 29,17

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