Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +4 µC e −1 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 15 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −1 µCr = 15 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 3 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 5 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 5 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 250 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 5 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 250 spire, area 40 cm² e resistenza 10 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,8 T in 10 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 250A = 40 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 10 msR = 10 Ω

I = A

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 800 spire, una lunghezza di 20 cm e un diametro di 5 cm. Trova la sua autoinduttanza L.

N = 800l = 20 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 500 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 60 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (4 + −1)/2 = 1,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,899 N

Risposta

F = 0,899 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 36,31 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0,1² = 13,48 N

Somma vettoriale

F = √(33,71² + 13,48²) = 36,31 N

Risposta

F = 36,31 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,3988 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 2·23/(2+23) = 1,84 Ω

R_eq = R₁ + 1,84 = 12 + 1,84 = 13,84 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/13,84 = 0,4335 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,4335·12 = 0,7977 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,7977/2 = 0,3988 A

Risposta

I_R2 = 0,3988 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,2682 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 6 + 10 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 1,778 Ω

R₃ + 1,778 = 26,78 Ω

R₂ ∥ 26,78 = 7,281 Ω

R_eq = R₁ + 7,281 = 30 + 7,281 = 37,28 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/37,28 = 0,2682 A

Risposta

I_R1 = 0,2682 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 5,518 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/1 = 5,518 V

Risposta

v_L = 5,518 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 8,395 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(250) = 10 + (−5)·e^−250/220 = 8,395 V

Risposta

v_C = 8,395 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 8 A

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,8 − 0)·0,004 = 0,0032 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0032/0,01 = 80 V

Corrente

I = ε/R = 80/10 = 8 A

Risposta

I = 8 A

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: L = 7,896 mH

Sezione trasversale

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,001963/0,2 = 0,007896 H = 7,896 mH

Risposta

L = 7,896 mH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 72,77 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (48,36)²) = 50,64 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(48,36/15) = 72,77°

Risposta

φ = 72,77°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 10,52 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−7,676)²) = 60,49 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 24/60,49 = 0,3968 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,3968·26,53 = 10,52 V

Risposta

V_C = 10,52 V

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