Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++3 µC−−6 µCP60 cm

Una carica di +3 µC e una carica di −6 µC si trovano a 60 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 15 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +3 µCq2 = −6 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
4 cm3 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +1 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 4 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 1 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 8 µCq2 = 1 µCq3 = 4 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​10 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 24 VR1 = 25 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 1 ms, in mJ.

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​20 Vt = 0R = 6,8 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 30 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 120 ms.

Vs = 20 VR = 6,8 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 Vt = 120 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 20 cm², N = 100B = 0,3 T

Una bobina di 100 spire ha un’area di 20 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 200 ms in un campo uniforme di 0,3 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 100A = 20 cm²B = 0,3 TΔt = 200 ms
ε = mV
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
I = 5 Al = 20 cmN = 800, ⌀ 1,5 cm

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 800 spire, una lunghezza di 20 cm e un diametro di 1,5 cm. Trova l’energia W immagazzinata nel suo campo magnetico quando è percorso da 5 A.

N = 800l = 20 cm⌀ = 1,5 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Impedenza AC e fasoriMedia
120 V200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 200 Hz. Trova il fattore di potenza cos φ del circuito.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 100 µF
cos φ =
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
230 V50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 50 Hz. Trova la tensione efficace VC ai capi del condensatore.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,465 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,45² = 266370 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |1,199 × 10⁶ + 266370| = 1,465 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,465 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 184,2 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N
F2 = k·1·4 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N

Somma vettoriale

F = √(179,8² + 39,96²) = 184,2 N

Risposta

F = 184,2 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,9545 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 8 + 12 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω
Req = R1 + 8,571 = 4 + 8,571 = 12,57 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 12/12,57 = 0,9545 A

Risposta

IR1 = 0,9545 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,5547 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 9,474 Ω
R3 + 9,474 = 19,47 Ω
R2 ∥ 19,47 = 5,67 Ω
Req = R1 + 5,67 = 25 + 5,67 = 30,67 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 24/30,67 = 0,7825 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 0,7825·25 = 4,437 V
IR2 = VA/R2 = 4,437/8 = 0,5547 A

Risposta

IR2 = 0,5547 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 3,018 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 1·(1 − e−1/0,6667) = 0,7769 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·10·0,7769² = 3,018 mJ

Risposta

W = 3,018 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 24,48 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms
vC(t) = 20 + (30 − 20)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(120) = 20 + (10)·e−120/149,6 = 24,48 V

Risposta

vC = 24,48 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 600 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 2·0,3·0,002 = 0,0012 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0012/0,2 = 0,6 V

Risposta

ε = 600 mV
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: W = 8,883 mJ

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 710,6 µH

Energia immagazzinata

W = ½LI² = ½·0,0007106·5² = 0,008883 J = 8,883 mJ

Risposta

W = 8,883 mJ
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: cos φ = 0,2637

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

XL = 62,83 Ω, XC = 7,958 Ω

Impedenza

|Z| = √(15² + (54,87)²) = 56,89 Ω

Fattore di potenza

cos φ = R/|Z| = 15/56,89 = 0,2637
Il circuito è induttivo, quindi il fattore di potenza è induttivo (in ritardo).

Risposta

cos φ = 0,2637
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: VC = 497,4 V

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−66,15)²) = 66,9 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/66,9 = 3,438 A

Tensione sul condensatore

VC = I·XC = 3,438·144,7 = 497,4 V

Risposta

VC = 497,4 V

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