Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: −3 µC a sinistra, −4 µC a destra a 30 cm di distanza, e +2 µC tra loro, a 22,5 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −4 µCq_M = +2 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 10 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 50 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 15° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 80% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 6 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 75 ms.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 6 Vt = 75 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una particella alfa descrive una circonferenza in un campo magnetico uniforme di 1 T. Trova il tempo T che impiega per un giro.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 1 T

T = ns

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Due bobine con autoinduttanze di 50 mH e 100 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,9. La corrente nella prima bobina varia a 20 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L₁ = 50 mHL₂ = 100 mHk = 0,9di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 11,72 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,225² = −1,065 N

F_R = +k·4·2 × 10⁻¹²/0,075² = 12,79 N

Forza risultante

F = −1,065 + (12,79) = 11,72 N → |F| = 11,72 N

Risposta

F = 11,72 N

La forza risultante è diretta verso destra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 442,6 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 15° = 0,02629 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 15° = 0,2588 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2588·√(0,02629/8,99 × 10⁹) = 4,426 × 10⁻⁷ C = 442,6 nC

Risposta

q = 442,6 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,277 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 10 + 1,75 = 11,75 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11,75 = 1,277 A

Risposta

I_R1 = 1,277 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,3607 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 8 + 4 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 3 Ω

R₃ + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 2,727 Ω

R_eq = R₁ + 2,727 = 25 + 2,727 = 27,73 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,73 = 0,3607 A

Risposta

I_R1 = 0,3607 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 3,316 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Risolvi per il tempo

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −2,061·ln(0,2) = 3,316 ms

Risposta

t = 3,316 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 5,212 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 5 + (6 − 5)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(75) = 5 + (1)·e^−75/48,4 = 5,212 V

Risposta

v_C = 5,212 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: T = 130,3 ns

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periodo del moto circolare

Una particella più veloce descrive una circonferenza più grande, quindi il tempo per giro resta lo stesso.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·1) = 130,3 ns

Risposta

T = 130,3 ns

La velocità non serve: per questo un ciclotrone può usare un’unica frequenza fissa.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 1,273 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = 0,9·√(50·100) = 63,64 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,06364·20 = 1,273 V

Risposta

ε = 1,273 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 6,375 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (11,17)²) = 100,6 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(11,17/100) = 6,375°

Risposta

φ = 6,375°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 78,15 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−7,676)²) = 40,73 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 120/40,73 = 2,946 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 2,946·26,53 = 78,15 V

Risposta

V_C = 78,15 V

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