Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +3 µC e +10 µC distano 40 cm. A quale distanza x dalla carica di +3 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCd = 40 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 2 cm e il campo tra di esse è 3500 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 3500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 1,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la tensione v_R ai capi di R a t = 10 ms.

i(0) = 1,5 AR = 22 ΩL = 100 mHt = 10 ms

v_R = V

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Quanto tempo dopo t = 0 la corrente dell’induttore raggiunge 1,018 A? Trova t.

V_s = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mH

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un elettrone descrive una circonferenza in un campo magnetico uniforme di 1 mT. Trova il tempo T che impiega per un giro.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 1 mT

T = ns

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 5000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,4 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,4 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie con C = 2,2 µF deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.

f₀ = 5000 HzC = 2,2 µF

L = mH

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 14,16 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

3/x² = 10/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(10/3) = 1,826

Posizione

x = 40/(1 + 1,826) = 14,16 cm

Risposta

x = 14,16 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,3078 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,02/2 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3500/9,109 × 10⁻³¹ = 6,155 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·6,155 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0,0003078 m = 0,3078 mm

Risposta

y = 0,3078 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,6667 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_eq = R₁ + 2 = 8 + 2 = 10 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10 = 1 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1·8 = 2 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2/3 = 0,6667 A

Risposta

I_R2 = 0,6667 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,019 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 8 + 6 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 9,545 Ω

R₃ + 9,545 = 34,55 Ω

R₂ ∥ 34,55 = 5,112 Ω

R_eq = R₁ + 5,112 = 25 + 5,112 = 30,11 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/30,11 = 1,196 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,196·25 = 6,112 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,112/6 = 1,019 A

Risposta

I_R2 = 1,019 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_R = 3,657 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

Decadimento della corrente

i(t) = 1,5·e^−10/4,545 = 0,1662 A

v_R = R·i = 22·0,1662 = 3,657 V

Risposta

v_R = 3,657 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 20,78 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 9/(5 + 33) = 0,2368 A

i(∞) = 9/5 = 1,8 A

τ = L/R = 150/5 = 30 ms

i(t) = 1,8 + (0,2368 − 1,8)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

e^−t/τ = (1,018 − 1,8)/(0,2368 − 1,8) = 0,5003

t = 30·ln(1,999) = 20,78 ms

Risposta

t = 20,78 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: T = 35,73 ns

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periodo del moto circolare

Una particella più veloce descrive una circonferenza più grande, quindi il tempo per giro resta lo stesso.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 35,73 ns

Risposta

T = 35,73 ns

La velocità non serve: per questo un ciclotrone può usare un’unica frequenza fissa.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 2,555 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,02555 m = 2,555 cm

Risposta

r = 2,555 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: L = 0,4606 mH

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·2,2·10⁻⁶) = 0,4606 mH

Risposta

L = 0,4606 mH

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,01943 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (612,4)²) = 617,6 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/617,6 = 0,01943 A

Risposta

I = 0,01943 A

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