Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
−−5 µC++5 µC++8 µC6 cm + 4 cm

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: −5 µC a sinistra, +8 µC a destra a 10 cm di distanza, e +5 µC tra loro, a 6 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −5 µCqR = +8 µCqM = +5 µCrL = 6 cmrR = 4 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
L = 50 cm8°qq

Due palline identiche, ciascuna di massa 10 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 50 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 8° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​15 Ω

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 2 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL68 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione vL ai capi dell’induttore in t = 15 ms.

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 15 ms
vL = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​24 Vsi apre a t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 6,8 kΩi2​C33 µF+−vC​

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente i2 in R2 a t = 400 ms.

Vs = 24 VR1 = 10 kΩR2 = 6,8 kΩC = 33 µFt = 400 ms
i2 = mA
7.Campi magnetici e induzioneMedia
8 A8 Ad = 5 cm

Due fili paralleli lunghi, a 5 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 8 A e 8 A nello stesso verso. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I1 = 8 AI2 = 8 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
V = 5000 VB = 0,1 Tr = ?

Una particella alfa parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 5000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,1 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,1 T
r = cm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
230 V50 HzR = 15 ΩL = 100 mHI

Un resistore e un induttore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 100 mH
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
24 V100 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 80 ΩC = 22 µF

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 100 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR1 = 20 ΩR2 = 80 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 287,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

FL = −k·5·5 × 10⁻¹²/0,06² = −62,43 N
FR = −k·8·5 × 10⁻¹²/0,04² = −224,7 N

Forza risultante

F = −62,43 + (−224,7) = −287,2 N → |F| = 287,2 N

Risposta

F = 287,2 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 172,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 8° = 0,1392 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1392·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 1,723 × 10⁻⁷ C = 172,3 nC

Risposta

q = 172,3 nC
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 16,92 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8,919 Ω
Req = R1 + 8,919 = 8 + 8,919 = 16,92 Ω

Risposta

Req = 16,92 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,4832 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​15 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 2 + 15 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 9,189 Ω
R3 + 9,189 = 13,19 Ω
R2 ∥ 13,19 = 3,626 Ω
Req = R1 + 3,626 = 15 + 3,626 = 18,63 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 9/18,63 = 0,4832 A

Risposta

IR1 = 0,4832 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: vL = 1,652 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1,5 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−15/6,8 = 1,652 V

Risposta

vL = 1,652 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: i2 = 0,2403 mA

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

vC(0) = 24·6,8/(10 + 6,8) = 9,714 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R2·C = 6,8·33 = 224,4 ms

Scarica

vC(t) = 9,714·e−400/224,4 = 1,634 V
i2 = vC/R2 = 1,634/6,8 = 0,2403 mA

Risposta

i2 = 0,2403 mA
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 256 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·8/0,05 = 256 µN/m

Risposta

F/L = 256 µN/m

Correnti nello stesso verso si attraggono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 14,4 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·5000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 694382 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,144 m = 14,4 cm

Risposta

r = 14,4 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 25,52 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,42 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

IR = V/R = 230/15 = 15,33 A
IX = V/XL = 230/31,42 = 7,321 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(IR² + IX²) = √(15,33² + 7,321²) = 16,99 A

Angolo di fase

La corrente nell’induttore è in ritardo su V, quindi la corrente totale è in ritardo e l’angolo è positivo.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(7,321/15,33) = 25,52°

Risposta

φ = 25,52°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 68,69 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 35,99 − j39,8 Ω

Impedenza totale

Z = 20 + 35,99 − j39,8 = 55,99 − j39,8 Ω
|Z| = √(55,99² + 39,8²) = 68,69 Ω

Risposta

|Z| = 68,69 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism