Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +8 µC a sinistra, −5 µC a destra a 20 cm di distanza, e +3 µC tra loro, a 8 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +8 µCq_R = −5 µCq_M = +3 µCr_L = 8 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 5 cm e il campo tra di esse è 2100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 80% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 15 VR = 15 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 60 ms.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove a 2,5 × 10⁵ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,5 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 150 spire, 8 cm × 20 cm, ruota a 1500 giri/min in un campo uniforme di 0,5 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova il valore efficace E_rms della f.e.m.

N = 150A = 8 cm × 20 cmB = 0,5 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un resistore e un induttore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mH

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 60 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 100 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 43,08 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = +k·8·3 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N

F_R = +k·5·3 × 10⁻¹²/0,12² = 9,365 N

Forza risultante

F = 33,71 + (9,365) = 43,08 N → |F| = 43,08 N

Risposta

F = 43,08 N

La forza risultante è diretta verso destra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 4,617 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,05/1 × 10⁷ = 5 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2100/9,109 × 10⁻³¹ = 3,693 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·3,693 × 10¹⁴·(5 × 10⁻⁹)² = 0,004617 m = 4,617 mm

Risposta

y = 4,617 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 19,89 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω

R_eq = R₁ + 7,886 = 12 + 7,886 = 19,89 Ω

Risposta

R_eq = 19,89 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,9952 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 7,368 Ω

R₃ + 7,368 = 22,37 Ω

R₂ ∥ 22,37 = 7,81 Ω

R_eq = R₁ + 7,81 = 2 + 7,81 = 9,81 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9,81 = 1,529 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,529·2 = 11,94 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,94/12 = 0,9952 A

Risposta

I_R2 = 0,9952 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 2,361 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 15/15 = 1 A

Risolvi per il tempo

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −1,467·ln(0,2) = 2,361 ms

Risposta

t = 2,361 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 16,24 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 15 + (18 − 15)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(60) = 15 + (3)·e^−60/68 = 16,24 V

Risposta

v_C = 16,24 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,5222 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,005222 m = 0,5222 cm

Risposta

r = 0,5222 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E_rms = 133,3 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,016 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 150·0,5·0,016·157,1 = 188,5 V

Valore efficace

E_rms = 188,5/√2 = 133,3 V

Risposta

E_rms = 133,3 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,5005 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

X_L = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

I_R = V/R = 12/80 = 0,15 A

I_X = V/X_L = 12/25,13 = 0,4775 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,15² + 0,4775²) = 0,5005 A

Risposta

I = 0,5005 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 3,824 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (67,72)²) = 69,36 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/69,36 = 0,1442 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,1442·26,53 = 3,824 V

Risposta

V_C = 3,824 V

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