Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +4 µC a sinistra, +2 µC a destra a 40 cm di distanza, e −10 µC tra loro, a 20 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +4 µCqR = +2 µCqM = −10 µCrL = 20 cmrR = 20 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 2 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 3 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 2 µC a 3 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.
q1 = 2 µCq2 = 2 µCq3 = 2 µCr13 = 3 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 ΩR5 = 8 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore vC in t = 80 ms.
Vs = 10 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 22 µFt = 80 ms
vC = V
6.Transitori RC e RLDifficile
Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 5 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 300 ms.
Vs = 9 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 5 Vt = 300 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Un elettrone descrive una circonferenza in un campo magnetico uniforme di 2,5 mT. Trova il tempo T che impiega per un giro.
m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 2,5 mT
T = ns
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 10000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,2 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.
m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,2 T
r = cm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie ha R = 2 Ω, L = 10 mH e C = 0,47 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.
R = 2 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF
B = Hz
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 4,495 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Forza di ciascuna carica
Il verso verso destra è positivo.
FL = −k·4·10 × 10⁻¹²/0,2² = −8,99 N
FR = +k·2·10 × 10⁻¹²/0,2² = 4,495 N
Forza risultante
F = −8,99 + (4,495) = −4,495 N → |F| = 4,495 N
Risposta
F = 4,495 N
La forza risultante è diretta verso sinistra.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 56,51 N
Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.
Ogni forza su q₃
F1 = k·2·2 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N
F2 = k·2·2 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N
Somma vettoriale
F = √(39,96² + 39,96²) = 56,51 N
Risposta
F = 56,51 N
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 3,6 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Req = R1 + 1,333 = 2 + 1,333 = 3,333 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 12/3,333 = 3,6 A
Risposta
IR1 = 3,6 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,5786 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 8 + 20 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 3,5 Ω
R3 + 3,5 = 13,5 Ω
R2 ∥ 13,5 = 5,745 Ω
Req = R1 + 5,745 = 30 + 5,745 = 35,74 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 36/35,74 = 1,007 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1,007·30 = 5,786 V
IR2 = VA/R2 = 5,786/10 = 0,5786 A
Risposta
IR2 = 0,5786 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 2,983 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Equivalente di Thévenin visto dal condensatore
Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.
Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ
vC(∞) = 10·4,7/(6,8 + 4,7) = 4,087 V
Costante di tempo
τ = Rth·C = 2,779·22 = 61,14 ms
Curva di carica
vC(t) = 4,087·(1 − e−80/61,14) = 2,983 V
Risposta
vC = 2,983 V
6.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 6,909 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Valore iniziale, valore finale, costante di tempo
La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ
Tensione all’istante dato
vC(300) = 9 + (−4)·e−300/462,4 = 6,909 V
Risposta
vC = 6,909 V
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: T = 14,29 ns
Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Periodo del moto circolare
Una particella più veloce descrive una circonferenza più grande, quindi il tempo per giro resta lo stesso.
T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0025) = 14,29 ns
Risposta
T = 14,29 ns
La velocità non serve: per questo un ciclotrone può usare un’unica frequenza fissa.
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: r = 10,22 cm
Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Velocità dopo l’accelerazione
v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s
Raggio nel campo
r = mv/(|q|B) = 0,1022 m = 10,22 cm
Risposta
r = 10,22 cm
In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,09629 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−236,1)²) = 249,2 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 24/249,2 = 0,09629 A
Risposta
I = 0,09629 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: B = 31,83 Hz
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Frequenza di risonanza
f0 = 1/(2π·√(0,01·0,47·10⁻⁶)) = 2322 Hz
Fattore di qualità
Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,01/(0,47·10⁻⁶)) = 72,93
Larghezza di banda
B = f0/Q = 2322/72,93 = 31,83 Hz
Risposta
B = 31,83 Hz
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