Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +10 µC e una carica di −3 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 16 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +10 µCq₂ = −3 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 4 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 5 cm e il campo tra di esse è 2500 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 1,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la corrente i in t = 2 ms.

i(0) = 1,5 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente dell’induttore i a t = 5 ms.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 20 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 50 spire ha un’area di 50 cm². La bobina si trova in un campo uniforme di 0,2 T perpendicolare al suo piano, e il campo viene spento in 40 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 50A = 50 cm²B = 0,2 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 500 spire, una lunghezza di 40 cm e un diametro di 2 cm. Trova la sua autoinduttanza L.

N = 500l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 50 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF

P = W

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 3,98 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,16² = 3,512 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,24² = 468229 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |3,512 × 10⁶ + 468229| = 3,98 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 3,98 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,3435 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,05/4 × 10⁷ = 1,25 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2500/9,109 × 10⁻³¹ = 4,397 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·4,397 × 10¹⁴·(1,25 × 10⁻⁹)² = 0,0003435 m = 0,3435 mm

Risposta

y = 0,3435 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 14,5 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 15·35/(15+35) = 10,5 Ω

R_eq = R₁ + 10,5 = 4 + 10,5 = 14,5 Ω

Risposta

R_eq = 14,5 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 3,81 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 1,765 Ω

R₃ + 1,765 = 26,76 Ω

R₂ ∥ 26,76 = 1,861 Ω

R_eq = R₁ + 1,861 = 4 + 1,861 = 5,861 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/5,861 = 4,095 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 4,095·4 = 7,62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,62/2 = 3,81 A

Risposta

I_R2 = 3,81 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,4463 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Decadimento della corrente

i(t) = 1,5·e^−2/1,65 = 0,4463 A

Risposta

i = 0,4463 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,4459 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.

i(0) = 20/33 = 0,6061 A

i(∞) = 20/(33 + 20) = 0,3774 A

τ = L/R = 220/53 = 4,151 ms

i(t) = 0,3774 + (0,6061 − 0,3774)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(5) = 0,3774 + (0,2287)·e^−5/4,151 = 0,4459 A

Risposta

i = 0,4459 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 1,25 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 0,2·0,005 = 0,001 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,001/0,04 = 1,25 V

Risposta

ε = 1,25 V

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: L = 246,7 µH

Sezione trasversale

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0,0003142/0,4 = 0,0002467 H = 246,7 µH

Risposta

L = 246,7 µH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 1022 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 6,283 Ω, X_C = 31,83 Ω

Impedenza

|Z| = √(30² + (−25,55)²) = 39,4 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 230/39,4 = 5,837 A

P = I²·R = 5,837²·30 = 1022 W

Risposta

P = 1022 W

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 225,1 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Risposta

f₀ = 225,1 Hz

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