Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +6 µC e una carica di +1 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 24 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +6 µCq₂ = +1 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 8 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 6 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 8 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 120 ms.

V_s = 12 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 120 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un filo è percorso da una corrente verso destra in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica sul filo.

I: verso destraB: verso l’interno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,4 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,4 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 60 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 50 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 585286 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,24² = 936458 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,16² = 351172 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |936458 − 351172| = 585286 N/C

Risposta

E = 585286 N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 128 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,06² = 119,9 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N

Somma vettoriale

F = √(119,9² + 44,95²) = 128 N

Risposta

F = 128 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,187 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 10·11/(10+11) = 5,238 Ω

R_eq = R₁ + 5,238 = 8 + 5,238 = 13,24 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/13,24 = 2,266 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,266·8 = 11,87 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,87/10 = 1,187 A

Risposta

I_R2 = 1,187 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 2,689 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 3,5 Ω

R₃ + 3,5 = 23,5 Ω

R₂ ∥ 23,5 = 9,156 Ω

R_eq = R₁ + 9,156 = 2 + 9,156 = 11,16 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,16 = 2,689 A

Risposta

I_R1 = 2,689 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 7,358 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−1/1 = 7,358 V

Risposta

v_L = 7,358 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 13,99 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 12 + (18 − 12)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(120) = 12 + (6)·e^−120/108,9 = 13,99 V

Risposta

v_C = 13,99 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso l’alto

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

I: verso destra, B: verso l’interno della pagina

Verso della forza

verso l’alto

Risposta

F: verso l’alto

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,615 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,01615 m = 1,615 cm

Risposta

r = 1,615 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −82,5 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−189,9)²) = 191,5 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−189,9/25) = −82,5°

Risposta

φ = −82,5°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,1024 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−113,3)²) = 117,2 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/117,2 = 0,1024 A

Risposta

I = 0,1024 A

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