Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +2 µC a sinistra, −10 µC a destra a 10 cm di distanza, e −3 µC tra loro, a 4 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +2 µCq_R = −10 µCq_M = −3 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +6 µC e +6 µC distano 10 cm. Il punto P si trova a 8 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 10 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 300 ms.

V_s = 12 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 300 ms

v_C = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 12 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 750 ms.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 Vt = 750 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove verso l’alto in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica su di esso.

v: verso l’altoB: verso l’esterno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina corta di 50 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 1500 spire, lunghezza 30 cm e diametro 2 cm. Trova la loro mutua induttanza M.

N₁ = 1500N₂ = 50l = 30 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 500 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 108,6 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·2·3 × 10⁻¹²/0,04² = −33,71 N

F_R = −k·10·3 × 10⁻¹²/0,06² = −74,92 N

Forza risultante

F = −33,71 + (−74,92) = −108,6 N → |F| = 108,6 N

Risposta

F = 108,6 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,028 × 10⁷ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(5² + 8²) = 9,434 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,09434² = 6,061 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo la retta che unisce le cariche si annullano.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·6,061 × 10⁶·0,848 = 1,028 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 1,028 × 10⁷ N/C

Il campo è diretto lungo l’asse, allontanandosi dalle cariche.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,737 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 4·40/(4+40) = 3,636 Ω

R_eq = R₁ + 3,636 = 5 + 3,636 = 8,636 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,636 = 1,737 A

Risposta

I_R1 = 1,737 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 1,496 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 4,5 Ω

R₃ + 4,5 = 34,5 Ω

R₂ ∥ 34,5 = 8,903 Ω

R_eq = R₁ + 8,903 = 3 + 8,903 = 11,9 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11,9 = 2,016 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,016·3 = 17,95 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17,95/12 = 1,496 A

Risposta

I_R2 = 1,496 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 2,752 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·6,8/(4,7 + 6,8) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 12·6,8/(4,7 + 6,8) = 7,096 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 2,779·220 = 611,4 ms

Curva di carica

v_C(t) = 7,096·(1 − e^−300/611,4) = 2,752 V

Risposta

v_C = 2,752 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 14,31 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 20 + (12 − 20)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(750) = 20 + (−8)·e^−750/2200 = 14,31 V

Risposta

v_C = 14,31 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso destra

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

v: verso l’alto, B: verso l’esterno della pagina

Verso della forza

verso destra

Risposta

F: verso destra

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: M = 98,7 µH

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·50·0,0003142/0,3 = 98,7 µH

Risposta

M = 98,7 µH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,03569 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (326,6)²) = 336,2 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/336,2 = 0,03569 A

Risposta

I = 0,03569 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 112,5 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·100·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Risposta

f₀ = 112,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism