Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++3 µC−−8 µCP10 cm

Una carica di +3 µC e una carica di −8 µC si trovano a 10 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 6 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +3 µCq2 = −8 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
5 cm4 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +3 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 3 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 5 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 3 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 8 µCq2 = 3 µCq3 = 3 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​15 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL68 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 VR1​ = 5 ΩR2​ = 22 Ωsi chiude a t = 0L22 mHi(t)

L’interruttore in parallelo a R2 è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R2. Trova la corrente dell’induttore i a t = 10 ms.

Vs = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 22 ΩL = 22 mHt = 10 ms
i = A
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 0,5 Ωv = 8 m/sL = 60 cmB = 0,8 T

Un’asta metallica lunga 60 cm scorre a 8 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,8 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 0,5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la potenza P dissipata nel resistore.

B = 0,8 TL = 60 cmv = 8 m/sR = 0,5 Ω
P = W
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 1200 rpm5 cm × 10 cmN = 250B = 0,4 T

Una bobina di 250 spire, 5 cm × 10 cm, ruota a 1200 giri/min in un campo uniforme di 0,4 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 250A = 5 cm × 10 cmB = 0,4 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Vf0​ = 5000 HzRL = 10 mHC = ?

Un circuito RLC serie con L = 10 mH deve entrare in risonanza a 5000 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f0 = 5000 HzL = 10 mH
C = µF
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 2 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Un circuito RLC serie ha R = 2 Ω, L = 5 mH e C = 2,2 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.

R = 2 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF
B = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 5,244 × 10⁷ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,06² = 7,492 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,04² = 4,495 × 10⁷ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |7,492 × 10⁶ + 4,495 × 10⁷| = 5,244 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 5,244 × 10⁷ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 100 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·8·3 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N
F2 = k·3·3 × 10⁻¹²/0,04² = 50,57 N

Somma vettoriale

F = √(86,3² + 50,57²) = 100 N

Risposta

F = 100 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,4909 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 5 + 9,474 = 14,47 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 15/14,47 = 1,036 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,036·5 = 9,818 V
IR2 = VA/R2 = 9,818/20 = 0,4909 A

Risposta

IR2 = 0,4909 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,3986 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​6 ΩBR6​15 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 4,615 Ω
R3 + 4,615 = 16,62 Ω
R2 ∥ 16,62 = 5,4 Ω
Req = R1 + 5,4 = 20 + 5,4 = 25,4 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 15/25,4 = 0,5906 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,5906·20 = 3,189 V
IR2 = VA/R2 = 3,189/8 = 0,3986 A

Risposta

IR2 = 0,3986 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,06248 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,12·(1 − e−1/1,36) = 0,06248 A

Risposta

i = 0,06248 A
6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 2,748 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 15/(5 + 22) = 0,5556 A
i(∞) = 15/5 = 3 A
τ = L/R = 22/5 = 4,4 ms
i(t) = 3 + (0,5556 − 3)·e−t/τ

Corrente all’istante dato

i(10) = 3 + (−2,444)·e−10/4,4 = 2,748 A

Risposta

i = 2,748 A
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: P = 29,49 W

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,8·0,6·8 = 3,84 V

Corrente

I = ε/R = 3,84/0,5 = 7,68 A

Potenza

P = εI = 3,84·7,68 = 29,49 W

Risposta

P = 29,49 W
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 62,83 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
A = 0,005 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 250·0,4·0,005·125,7 = 62,83 V

Risposta

E0 = 62,83 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 0,1013 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,01) = 0,1013 µF

Risposta

C = 0,1013 µF
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: B = 63,66 Hz

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,005·2,2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,005/(2,2·10⁻⁶)) = 23,84

Larghezza di banda

B = f0/Q = 1517/23,84 = 63,66 Hz

Risposta

B = 63,66 Hz

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