Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++10 µC++5 µCE = 020 cm

Cariche di +10 µC e +5 µC distano 20 cm. A quale distanza x dalla carica di +10 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q1 = +10 µCq2 = +5 µCd = 20 cm
x = cm
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
L = 30 cm15°qq

Due palline identiche, ciascuna di massa 10 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 30 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 15° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 30 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 4 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​10 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 25 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 1 kΩC68 µF+−vC​

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la costante di tempo τ del circuito dopo la chiusura dell’interruttore.

Vs = 30 VR1 = 3,3 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µF
τ = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​10 Vt = 0R = 3,3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché vC raggiunga 7,6 V? Trova t.

Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 2 Ωv = 4 m/sL = 30 cmB = 0,6 T

Un’asta metallica lunga 30 cm scorre a 4 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,6 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 2 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la corrente I.

B = 0,6 TL = 30 cmv = 4 m/sR = 2 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
V = 1000 VB = 0,2 Tr = ?

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,2 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,2 T
r = cm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
120 V50 HzR = 20 ΩL = 200 mHI

Un resistore e un induttore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 50 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 200 mH
|Z| = Ω
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 20 ΩL = 20 mHC = 0,022 µF

Un circuito RLC serie ha R = 20 Ω, L = 20 mH e C = 0,022 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,022 µF
Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 11,72 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

10/x² = 5/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(5/10) = 0,7071

Posizione

x = 20/(1 + 0,7071) = 11,72 cm

Risposta

x = 11,72 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 265,5 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 15° = 0,02629 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 15° = 0,1553 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1553·√(0,02629/8,99 × 10⁹) = 2,655 × 10⁻⁷ C = 265,5 nC

Risposta

q = 265,5 nC
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 1,25 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​8 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 4 + 6,667 = 10,67 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/10,67 = 2,812 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,812·4 = 18,75 V
IR2 = VA/R2 = 18,75/15 = 1,25 A

Risposta

IR2 = 1,25 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,347 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAR4​4 ΩBR6​10 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 3,385 Ω
R3 + 3,385 = 28,38 Ω
R2 ∥ 28,38 = 6,241 Ω
Req = R1 + 6,241 = 5 + 6,241 = 11,24 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 5/11,24 = 0,4448 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,4448·5 = 2,776 V
IR2 = VA/R2 = 2,776/8 = 0,347 A

Risposta

IR2 = 0,347 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: τ = 52,19 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·1/(3,3 + 1) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 30·1/(3,3 + 1) = 6,977 V

Costante di tempo

τ = Rth·C = 0,7674·68 = 52,19 ms

Risposta

τ = 52,19 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 142,1 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms
vC(t) = 10 + (4 − 10)·e−t/τ

Risolvi per il tempo

7,6 = 10 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (7,6 − 10)/(4 − 10) = 0,4
t = τ·ln((4 − 10)/(7,6 − 10)) = 155,1·ln(2,5) = 142,1 ms

Risposta

t = 142,1 ms
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 360 mA

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,6·0,3·4 = 0,72 V

Corrente

I = ε/R = 0,72/2 = 0,36 A

Risposta

I = 360 mA
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 3,231 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,03231 m = 3,231 cm

Risposta

r = 3,231 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 19,06 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XL = ωL = 2π·50·0,2 = 62,83 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

IR = V/R = 120/20 = 6 A
IX = V/XL = 120/62,83 = 1,91 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(IR² + IX²) = √(6² + 1,91²) = 6,297 A

Impedenza

|Z| = V/I = 120/6,297 = 19,06 Ω

Risposta

|Z| = 19,06 Ω
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 47,67

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,022·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,022·10⁻⁶)) = 47,67

Risposta

Q = 47,67

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