Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +2 µC e +8 µC distano 60 cm. A quale distanza x dalla carica di +2 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCd = 60 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +8 µC e −8 µC distano 6 cm. Il punto P si trova a 5 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCd = 6 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 3 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 3,9 V? Trova t.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una particella alfa si muove a 6 × 10⁵ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,4 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un solenoide lungo con nucleo d’aria ha 800 spire, una lunghezza di 15 cm e un diametro di 2,5 cm. Trova la sua autoinduttanza L.

N = 800l = 15 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 50 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 20 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

2/x² = 8/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(8/2) = 2

Posizione

x = 60/(1 + 2) = 20 cm

Risposta

x = 20 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,177 × 10⁷ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(3² + 5²) = 5,831 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,05831² = 2,115 × 10⁷ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,115 × 10⁷·0,5145 = 2,177 × 10⁷ N/C

Risposta

E = 2,177 × 10⁷ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,4806 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 6·22/(6+22) = 4,714 Ω

R_eq = R₁ + 4,714 = 10 + 4,714 = 14,71 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,71 = 0,6117 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6117·10 = 2,883 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,883/6 = 0,4806 A

Risposta

I_R2 = 0,4806 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 9,681 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 1,818 Ω

R₃ + 1,818 = 6,818 Ω

R₂ ∥ 6,818 = 3,681 Ω

R_eq = R₁ + 3,681 = 6 + 3,681 = 9,681 Ω

Risposta

R_eq = 9,681 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2017 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3191·(1 − e^−1/1) = 0,2017 A

Risposta

i = 0,2017 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 368,8 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 6 + (3 − 6)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

3,9 = 6 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (3,9 − 6)/(3 − 6) = 0,7

t = τ·ln((3 − 6)/(3,9 − 6)) = 1034·ln(1,429) = 368,8 ms

Risposta

t = 368,8 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 3,111 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,03111 m = 3,111 cm

Risposta

r = 3,111 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: L = 2,632 mH

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Sezione trasversale

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Autoinduttanza

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,0004909/0,15 = 0,002632 H = 2,632 mH

Risposta

L = 2,632 mH

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 0,05803 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 47,12 Ω, X_C = 318,3 Ω

Impedenza

|Z| = √(30² + (−271,2)²) = 272,8 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 12/272,8 = 0,04398 A

P = I²·R = 0,04398²·30 = 0,05803 W

Risposta

P = 0,05803 W

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,7976 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (37,81)²) = 62,69 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/62,69 = 0,7976 A

Risposta

I = 0,7976 A

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