Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++10 µC−−3 µCP40 cm

Una carica di +10 µC e una carica di −3 µC si trovano a 40 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 16 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +10 µCq2 = −3 µCr1 = 16 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
4 cm10 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +4 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 6 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 2 µCq2 = 4 µCq3 = 6 µCr13 = 4 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​4 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 5 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4,7 kΩC10 µF+−vC​

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la costante di tempo τ del circuito dopo la chiusura dell’interruttore.

Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 Vsi apre a t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 4,7 kΩC10 µF+−vC​

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore vC in t = 100 ms.

Vs = 15 VR1 = 3,3 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µFt = 100 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
vI = ?

Una spira quadrata si muove verso destra entrando in una regione con un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno, mentre la spira sta entrando nel campo.

B: verso l’esterno della paginaingresso nel campo
  1. 1oraria
  2. 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 1800 rpm15 cm × 25 cmN = 20B = 0,05 T

Una bobina di 20 spire, 15 cm × 25 cm, ruota a 1800 giri/min in un campo uniforme di 0,05 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova il valore efficace Erms della f.e.m.

N = 20A = 15 cm × 25 cmB = 0,05 Tn = 1800 rpm
Erms = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
230 V100 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
24 V1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 1 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 1 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 3,98 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,16² = 3,512 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,24² = 468229 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |3,512 × 10⁶ + 468229| = 3,98 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 3,98 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 70,79 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·2·6 × 10⁻¹²/0,04² = 67,42 N
F2 = k·4·6 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

Somma vettoriale

F = √(67,42² + 21,58²) = 70,79 N

Risposta

F = 70,79 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 1,228 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4,435 Ω
Req = R1 + 4,435 = 20 + 4,435 = 24,43 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/24,43 = 1,228 A

Risposta

IR1 = 1,228 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 6,46 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​4 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 15 + 4 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 5,63 Ω
R3 + 5,63 = 25,63 Ω
R2 ∥ 25,63 = 3,46 Ω
Req = R1 + 3,46 = 3 + 3,46 = 6,46 Ω

Risposta

Req = 6,46 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: τ = 8,246 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare Rth; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ
vC(∞) = 9·4,7/(1 + 4,7) = 7,421 V

Costante di tempo

τ = Rth·C = 0,8246·10 = 8,246 ms

Risposta

τ = 8,246 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 1,05 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

vC(0) = 15·4,7/(3,3 + 4,7) = 8,813 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R2·C = 4,7·10 = 47 ms

Scarica

vC(t) = 8,813·e−100/47 = 1,05 V

Risposta

vC = 1,05 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: Erms = 4,998 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
A = 0,0375 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 20·0,05·0,0375·188,5 = 7,069 V

Valore efficace

Erms = 7,069/√2 = 4,998 V

Risposta

Erms = 4,998 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 21,81 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−3,349)²) = 10,55 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/10,55 = 21,81 A

Risposta

I = 21,81 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,2276 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−33,49)²) = 105,5 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 24/105,5 = 0,2276 A

Risposta

I = 0,2276 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism