Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +2 µC e una carica di +1 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 15 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 8 cm e il campo tra di esse è 4000 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 4000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è chiuso da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente dell’induttore i a t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 22 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone descrive una circonferenza in un campo magnetico uniforme di 1 T. Trova il tempo T che impiega per un giro.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 1 T

T = ns

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 50 spire, 20 cm × 20 cm, ruota a 300 giri/min in un campo uniforme di 0,2 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova il valore efficace E_rms della f.e.m.

N = 50A = 20 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 300 rpm

E_rms = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 200 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un resistore R₁ è collegato in serie a un parallelo tra R₂ e un condensatore C, a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 80 ΩC = 22 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 2,797 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |799111 − 3,596 × 10⁶| = 2,797 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 2,797 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 3,602 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,08/2,5 × 10⁷ = 3,2 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4000/9,109 × 10⁻³¹ = 7,035 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·7,035 × 10¹⁴·(3,2 × 10⁻⁹)² = 0,003602 m = 3,602 mm

Risposta

y = 3,602 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,111 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω

R_eq = R₁ + 12 = 15 + 12 = 27 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/27 = 1,111 A

Risposta

I_R1 = 1,111 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,2209 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3,684 Ω

R₃ + 3,684 = 6,684 Ω

R₂ ∥ 6,684 = 4,293 Ω

R_eq = R₁ + 4,293 = 20 + 4,293 = 24,29 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/24,29 = 0,6175 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,6175·20 = 2,651 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,651/12 = 0,2209 A

Risposta

I_R2 = 0,2209 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2687 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,45·(1 − e^−1/1,1) = 0,2687 A

Risposta

i = 0,2687 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,3291 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 l’interruttore chiuso esclude R₂; dopo, R₁ e R₂ sono entrambi nella maglia.

i(0) = 15/33 = 0,4545 A

i(∞) = 15/(33 + 22) = 0,2727 A

τ = L/R = 47/55 = 0,8545 ms

i(t) = 0,2727 + (0,4545 − 0,2727)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(1) = 0,2727 + (0,1818)·e^−1/0,8545 = 0,3291 A

Risposta

i = 0,3291 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: T = 65,62 ns

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periodo del moto circolare

Una particella più veloce descrive una circonferenza più grande, quindi il tempo per giro resta lo stesso.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 65,62 ns

Risposta

T = 65,62 ns

La velocità non serve: per questo un ciclotrone può usare un’unica frequenza fissa.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E_rms = 8,886 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,04 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 50·0,2·0,04·31,42 = 12,57 V

Valore efficace

E_rms = 12,57/√2 = 8,886 V

Risposta

E_rms = 8,886 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 9,638 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

I_R = V/R = 12/10 = 1,2 A

I_X = V/X_C = 12/36,17 = 0,3318 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 0,3318²) = 1,245 A

Impedenza

|Z| = V/I = 12/1,245 = 9,638 Ω

Risposta

|Z| = 9,638 Ω

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,596 A

Reattanza

X_C = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Z_p in parte reale e parte immaginaria.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 55,55 − j36,86 Ω

Impedenza totale

Z = 10 + 55,55 − j36,86 = 65,55 − j36,86 Ω

|Z| = √(65,55² + 36,86²) = 75,2 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/75,2 = 1,596 A

Risposta

I = 1,596 A

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