Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +6 µC e −5 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 30 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −5 µCr = 30 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 2 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 60 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 10° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 99% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 6 V con la polarità indicata. Quanto tempo serve perché v_C raggiunga 8,4 V? Trova t.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. L’intensità del campo sta aumentando. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.

B: verso l’esterno della paginadB/dt > 0

1oraria
2antioraria

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina di 250 spire, 15 cm × 20 cm, ruota in un campo uniforme di 0,3 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 199,9 V?

N = 250A = 15 cm × 20 cmB = 0,3 TE_rms = 199,9 V

n = rpm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie con L = 5 mH deve entrare in risonanza a 100 Hz. Trova la capacità C necessaria.

f₀ = 100 HzL = 5 mH

C = µF

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 24 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,02497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (6 + −5)/2 = 0,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,02497 N

Risposta

F = 0,02497 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 129,3 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 1,293 × 10⁻⁷ C = 129,3 nC

Risposta

q = 129,3 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 22,24 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 15 + 7,241 = 22,24 Ω

Risposta

R_eq = 22,24 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 11,8 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 6,24 Ω

R₃ + 6,24 = 11,24 Ω

R₂ ∥ 11,24 = 5,804 Ω

R_eq = R₁ + 5,804 = 6 + 5,804 = 11,8 Ω

Risposta

R_eq = 11,8 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 30,7 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Risolvi per il tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −6,667·ln(0,01) = 30,7 ms

Risposta

t = 30,7 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: t = 1609 ms

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 9 + (6 − 9)·e^−t/τ

Risolvi per il tempo

8,4 = 9 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 9)/(6 − 9) = 0,2

t = τ·ln((6 − 9)/(8,4 − 9)) = 1000·ln(5) = 1609 ms

Risposta

t = 1609 ms

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 1200 rpm

F.e.m. di picco

E₀ = √2·E_rms = 282,7 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 282,7/(250·0,3·0,03) = 125,6 rad/s

Giri al minuto

n = 60·125,6/(2π) = 1200 rpm

Risposta

n = 1200 rpm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: C = 506,6 µF

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,005) = 506,6 µF

Risposta

C = 506,6 µF

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 357,8 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1,6 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 4472·0,05 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 1,6·223,6 = 357,8 V

Risposta

V_L = 357,8 V

Questo è Q = 14,91 volte la tensione di alimentazione.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism