Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +5 µC e +10 µC distano 50 cm. A quale distanza x dalla carica di +5 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +5 µCq₂ = +10 µCd = 50 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 6 cm e il campo tra di esse è 4700 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

V_s = 20 VR = 10 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 25 ms.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 4 Vt = 25 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. L’intensità del campo sta diminuendo. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.

B: verso l’interno della paginadB/dt < 0

1oraria
2antioraria

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una particella alfa parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 2000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,5 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,5 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 100 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

P = W

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 5 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 20,71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

5/x² = 10/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(10/5) = 1,414

Posizione

x = 50/(1 + 1,414) = 20,71 cm

Risposta

x = 20,71 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 3,72 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,06/2 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4700/9,109 × 10⁻³¹ = 8,266 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·8,266 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,00372 m = 3,72 mm

Risposta

y = 3,72 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 2,531 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1,556 Ω

R_eq = R₁ + 1,556 = 2 + 1,556 = 3,556 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/3,556 = 2,531 A

Risposta

I_R1 = 2,531 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 12,86 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,438 Ω

R₃ + 3,438 = 9,438 Ω

R₂ ∥ 9,438 = 4,855 Ω

R_eq = R₁ + 4,855 = 8 + 4,855 = 12,86 Ω

Risposta

R_eq = 12,86 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 66 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms

i(∞) = V_s/R = 20/10 = 2 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·2² = 66 mJ

Risposta

W(∞) = 66 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 10,45 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 20 + (4 − 20)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(25) = 20 + (−16)·e^−25/48,4 = 10,45 V

Risposta

v_C = 10,45 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,822 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 439166 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,01822 m = 1,822 cm

Risposta

r = 1,822 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 12,76 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 157,1 Ω, X_C = 338,6 Ω

Impedenza

|Z| = √(30² + (−181,5)²) = 184 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 120/184 = 0,6521 A

P = I²·R = 0,6521²·30 = 12,76 W

Risposta

P = 12,76 W

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 100,5 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,3333·301,5 = 100,5 V

Risposta

V_L = 100,5 V

Questo è Q = 20,1 volte la tensione di alimentazione.

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