Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Cariche di +4 µC e +1 µC distano 30 cm. A quale distanza x dalla carica di +4 µC, sul segmento che le unisce, il campo elettrico è nullo?

q₁ = +4 µCq₂ = +1 µCd = 30 cm

x = cm

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 3 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 2 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 2 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 30 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µFt = 30 ms

v_C = V

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Trova la corrente dell’induttore i a t = 5 ms.

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 10 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un elettrone si muove verso sinistra in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica su di esso.

v: verso sinistraB: verso l’interno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 2 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,05 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,4 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,05 TB₂ = 0,4 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 60 Hz. Trova la potenza attiva P assorbita dall’alimentazione.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è alimentato da un generatore da 24 V (efficaci) la cui frequenza è regolata sulla frequenza di risonanza del circuito. Trova la tensione efficace V_L ai capi dell’induttore.

V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: x = 20 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campi uguali

4/x² = 1/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(1/4) = 0,5

Posizione

x = 30/(1 + 0,5) = 20 cm

Risposta

x = 20 cm

Il punto di campo nullo è sempre più vicino alla carica minore.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 17,19 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

F₂ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,06² = 14,98 N

Somma vettoriale

F = √(8,428² + 14,98²) = 17,19 N

Risposta

F = 17,19 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,3448 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω

R_eq = R₁ + 4,167 = 20 + 4,167 = 24,17 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/24,17 = 0,4138 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,4138·20 = 1,724 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,724/5 = 0,3448 A

Risposta

I_R2 = 0,3448 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,243 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 6,97 Ω

R₃ + 6,97 = 8,97 Ω

R₂ ∥ 8,97 = 4,728 Ω

R_eq = R₁ + 4,728 = 5 + 4,728 = 9,728 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/9,728 = 0,514 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,514·5 = 2,43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,43/10 = 0,243 A

Risposta

I_R2 = 0,243 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 0,5503 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 12·1/(10 + 1) = 1,091 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 0,9091·47 = 42,73 ms

Curva di carica

v_C(t) = 1,091·(1 − e^−30/42,73) = 0,5503 V

Risposta

v_C = 0,5503 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,7123 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 24/(33 + 10) = 0,5581 A

i(∞) = 24/33 = 0,7273 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,7273 + (0,5581 − 0,7273)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(5) = 0,7273 + (−0,1691)·e^−5/2,061 = 0,7123 A

Risposta

i = 0,7123 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso l’alto

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

v: verso sinistra, B: verso l’interno della pagina

Carica negativa

La forza su un elettrone è opposta a quella su una carica positiva.

Verso della forza

verso l’alto

Risposta

F: verso l’alto

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 20,87 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,05 = 4 × 10⁶ m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,2087 m = 20,87 cm

Risposta

r = 20,87 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: P = 0,2714 W

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 75,4 Ω, X_C = 265,3 Ω

Impedenza

|Z| = √(80² + (−189,9)²) = 206 Ω

Potenza attiva

Induttori e condensatori si limitano ad accumulare e restituire energia; il resistore assorbe tutta la potenza attiva.

I = 12/206 = 0,05824 A

P = I²·R = 0,05824²·80 = 0,2714 W

Risposta

P = 0,2714 W

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_L = 536,7 V

Risonanza

In risonanza le reattanze si annullano, quindi l’impedenza è semplicemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 24/10 = 2,4 A

Tensione ai capi dell’induttore

X_L = ω₀L = 44721·0,005 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 2,4·223,6 = 536,7 V

Risposta

V_L = 536,7 V

Questo è Q = 22,36 volte la tensione di alimentazione.

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