Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +2 µC e una carica di +1 µC si trovano a 60 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 24 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 5 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 3 µC si trova a 10 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 10 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 10 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 15 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 9,48 V, esattamente 500 ms dopo l’avvio. Con R = 47 kΩ, trova la capacità C necessaria.

V_s = 15 VV_th = 9,48 VT = 500 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un’asta metallica lunga 100 cm scorre a 3 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,25 T entrante nella pagina. Trova la f.e.m. indotta ε tra le sue estremità.

B = 0,25 TL = 100 cmv = 3 m/s

ε = mV

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una bobina corta di 20 spire è avvolta strettamente attorno al centro di un solenoide lungo di 2000 spire, lunghezza 30 cm e diametro 2 cm. La corrente nel solenoide varia a 20 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella bobina corta.

N₁ = 2000N₂ = 20l = 30 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie con C = 4,7 µF deve entrare in risonanza a 50 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.

f₀ = 50 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 242785 N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,36² = 69367 N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |312153 − 69367| = 242785 N/C

Risposta

E = 242785 N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 125,6 N

Ogni forza su q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,1² = 13,48 N

F₂ = k·10·5 × 10⁻¹²/0,06² = 124,9 N

Somma vettoriale

F = √(13,48² + 124,9²) = 125,6 N

Risposta

F = 125,6 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,3922 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω

R_eq = R₁ + 6,857 = 15 + 6,857 = 21,86 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/21,86 = 0,6863 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,6863·15 = 4,706 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,706/12 = 0,3922 A

Risposta

I_R2 = 0,3922 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,495 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 10,75 Ω

R₃ + 10,75 = 22,75 Ω

R₂ ∥ 22,75 = 9,04 Ω

R_eq = R₁ + 9,04 = 3 + 9,04 = 12,04 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,04 = 1,495 A

Risposta

I_R1 = 1,495 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,06 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/100 = 0,06 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,06·(1 − e^−1/0,1) = 0,06 A

Risposta

i = 0,06 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 10,64 µF

Costante di tempo richiesta

9,48 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 9,48))

τ = 500/0,9997 = 500,2 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 500,2/47 = 10,64 µF

Risposta

C = 10,64 µF

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 750 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,25·1·3 = 0,75 V

Risposta

ε = 750 mV

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 1,053 mV

Mutua induttanza

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·20·0,0003142/0,3 = 52,64 µH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 5,264 × 10⁻⁵·20 = 1,053 mV

Risposta

ε = 1,053 mV

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: L = 2156 mH

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·4,7·10⁻⁶) = 2156 mH

Risposta

L = 2156 mH

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,1058 A

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−470,1)²) = 472,8 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/472,8 = 0,1058 A

Risposta

I = 0,1058 A

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