Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: −8 µC a sinistra, +1 µC a destra a 40 cm di distanza, e +1 µC tra loro, a 16 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −8 µCq_R = +1 µCq_M = +1 µCr_L = 16 cmr_R = 24 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 8 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 2 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la tensione v_L ai capi dell’induttore in t = 20 ms.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 20 ms

v_L = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 20 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 15 ms.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 20 Vt = 15 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Due fili paralleli lunghi, a 6 cm di distanza, sono percorsi da correnti di 20 A e 30 A in versi opposti. Trova la forza per metro di lunghezza F/L tra di essi.

I₁ = 20 AI₂ = 30 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

In un selettore di velocità, campi incrociati E = 5 × 10⁵ V/m e B = 0,4 T lasciano passare in linea retta solo gli ioni di una certa velocità. Trova quella velocità v.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,4 T

v = m/s

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 200 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un resistore R₁ è collegato in serie a un parallelo tra R₂ e un condensatore C, a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 80 ΩC = 10 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 2,965 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·8·1 × 10⁻¹²/0,16² = −2,809 N

F_R = −k·1·1 × 10⁻¹²/0,24² = −0,1561 N

Forza risultante

F = −2,809 + (−0,1561) = −2,965 N → |F| = 2,965 N

Risposta

F = 2,965 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 49,23 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,06² = 39,96 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,1² = 28,77 N

Somma vettoriale

F = √(39,96² + 28,77²) = 49,23 N

Risposta

F = 49,23 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 19,84 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 15 + 4,839 = 19,84 Ω

Risposta

R_eq = 19,84 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 13,75 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 6 Ω

R₃ + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 10 + 3,75 = 13,75 Ω

Risposta

R_eq = 13,75 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_L = 0,3193 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Tensione sull’induttore

In t = 0 tutta la tensione di alimentazione è ai capi dell’induttore; poi decade a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−20/6,818 = 0,3193 V

Risposta

v_L = 0,3193 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 9,124 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 6 + (20 − 6)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(15) = 6 + (14)·e^−15/10 = 9,124 V

Risposta

v_C = 9,124 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F/L = 2000 µN/m

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Forza per metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·30/0,06 = 2000 µN/m

Risposta

F/L = 2000 µN/m

Correnti in versi opposti si respingono.

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: v = 1,25 × 10⁶ m/s

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,4 = 1,25 × 10⁶ m/s

Risposta

v = 1,25 × 10⁶ m/s

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,132 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (171,6)²) = 181,8 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 24/181,8 = 0,132 A

Risposta

I = 0,132 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,9922 A

Reattanza

X_C = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Z_p in parte reale e parte immaginaria.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 73,33 − j22,12 Ω

Impedenza totale

Z = 25 + 73,33 − j22,12 = 98,33 − j22,12 Ω

|Z| = √(98,33² + 22,12²) = 100,8 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 100/100,8 = 0,9922 A

Risposta

I = 0,9922 A

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