Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++3 µC−−6 µCP20 cm

Una carica di +3 µC e una carica di −6 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 10 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +3 µCq2 = −6 µCr1 = 10 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
5 cm4 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +10 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 1 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 8 µC si trova a 5 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 10 µC a 4 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 8 µCq2 = 10 µCq3 = 1 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 30 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​3 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​20 Vt = 0R = 68 ΩL220 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 90% del suo valore finale? Trova t.

Vs = 20 VR = 68 ΩL = 220 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​20 Vt = 0R = 3,3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 2 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 250 ms.

Vs = 20 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 2 Vt = 250 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
dB/dt > 0I = ?

Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. L’intensità del campo sta aumentando. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.

B: verso l’esterno della paginadB/dt > 0
  1. 1oraria
  2. 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
L = 40 mH5,5 → 0,5 A

La corrente in un induttore da 40 mH varia in modo costante da 5,5 A a 0,5 A in 10 ms. Trova il modulo della f.e.m. autoindotta ε.

L = 40 mH5,5 A → 0,5 AΔt = 10 ms
ε = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
12 V50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 50 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
12 V100 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 40 ΩC = 22 µF

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 100 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 40 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 8,091 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,1² = 2,697 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |2,697 × 10⁶ + 5,394 × 10⁶| = 8,091 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 8,091 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 63,12 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·8·1 × 10⁻¹²/0,05² = 28,77 N
F2 = k·10·1 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

Somma vettoriale

F = √(28,77² + 56,19²) = 63,12 N

Risposta

F = 63,12 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 1,032 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7,034 Ω
Req = R1 + 7,034 = 10 + 7,034 = 17,03 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/17,03 = 1,761 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,761·10 = 12,39 V
IR2 = VA/R2 = 12,39/12 = 1,032 A

Risposta

IR2 = 1,032 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,1974 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 30 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​2 ΩBR6​3 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 30 + 3 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 1,886 Ω
R3 + 1,886 = 5,886 Ω
R2 ∥ 5,886 = 4,547 Ω
Req = R1 + 4,547 = 30 + 4,547 = 34,55 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/34,55 = 0,8684 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 0,8684·30 = 3,949 V
IR2 = VA/R2 = 3,949/20 = 0,1974 A

Risposta

IR2 = 0,1974 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 7,45 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms
i(∞) = Vs/R = 20/68 = 0,2941 A

Risolvi per il tempo

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −3,235·ln(0,1) = 7,45 ms

Risposta

t = 7,45 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 16,41 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms
vC(t) = 20 + (2 − 20)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(250) = 20 + (−18)·e−250/155,1 = 16,41 V

Risposta

vC = 16,41 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 20 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. autoindotta

La f.e.m. si oppone alla variazione di corrente (Lenz), quindi il suo segno è opposto a ΔI; il valore è L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·5/0,01 = 20 V

Risposta

ε = 20 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −86,22 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−302,6)²) = 303,3 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−302,6/20) = −86,22°

Risposta

φ = −86,22°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 44,02 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 30,63 − j16,94 Ω

Impedenza totale

Z = 10 + 30,63 − j16,94 = 40,63 − j16,94 Ω
|Z| = √(40,63² + 16,94²) = 44,02 Ω

Risposta

|Z| = 44,02 Ω

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