Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +8 µC e −5 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 15 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −5 µCr = 15 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 1 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 1 µC si trova a 8 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 2 µC a 5 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 2,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,5 A? Trova t.

i(0) = 2,5 AR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore in parallelo a R₂ è aperto da molto tempo, quindi la corrente dell’induttore è stazionaria. A t = 0 l’interruttore si chiude e cortocircuita R₂. Trova la corrente dell’induttore i a t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove a 2 × 10⁶ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 1 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 1 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 2 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,1 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,5 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,5 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 1 Ω, L = 2 mH e C = 2,2 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 1 ΩL = 2 mHC = 2,2 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (8 + −5)/2 = 1,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,899 N

Risposta

F = 0,899 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 7,328 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0,08² = 1,405 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,05² = 7,192 N

Somma vettoriale

F = √(1,405² + 7,192²) = 7,328 N

Risposta

F = 7,328 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,3 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 20 + 10 = 30 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/30 = 0,3 A

Risposta

I_R1 = 0,3 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 34,76 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 1,875 Ω

R₃ + 1,875 = 5,875 Ω

R₂ ∥ 5,875 = 4,757 Ω

R_eq = R₁ + 4,757 = 30 + 4,757 = 34,76 Ω

Risposta

R_eq = 34,76 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 3,219 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

Risolvi per il tempo

0,5 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,5)

t = 2·ln(5) = 3,219 ms

Risposta

t = 3,219 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,3374 A

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

Prima di t = 0 entrambi i resistori sono nella maglia; dopo, l’interruttore chiuso esclude R₂.

i(0) = 9/(22 + 20) = 0,2143 A

i(∞) = 9/22 = 0,4091 A

τ = L/R = 22/22 = 1 ms

i(t) = 0,4091 + (0,2143 − 0,4091)·e^−t/τ

Corrente all’istante dato

i(1) = 0,4091 + (−0,1948)·e^−1/1 = 0,3374 A

Risposta

i = 0,3374 A

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 2,089 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 0,02089 m = 2,089 cm

Risposta

r = 2,089 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 8,35 cm

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,1 = 2 × 10⁶ m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,0835 m = 8,35 cm

Risposta

r = 8,35 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,08326 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (118,4)²) = 120,1 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/120,1 = 0,08326 A

Risposta

I = 0,08326 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 30,15

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,002·2,2·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0,002/(2,2·10⁻⁶)) = 30,15

Risposta

Q = 30,15

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