Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Una carica di +4 µC e una carica di −5 µC si trovano a 60 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 45 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.
q1 = +4 µCq2 = −5 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 5 cm e il campo tra di esse è 4100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.
v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.
V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 30 ΩR5 = 10 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 50% del suo valore finale? Trova t.
Vs = 6 VR = 33 ΩL = 150 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore vC in t = 1000 ms.
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 10 kΩC = 100 µFt = 1000 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Un’asta metallica lunga 30 cm scorre a 4 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,4 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 0,5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la corrente I.
B = 0,4 TL = 30 cmv = 4 m/sR = 0,5 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Una bobina di 250 spire, 10 cm × 10 cm, ruota a 1500 giri/min in un campo uniforme di 0,3 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.
N = 250A = 10 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 1500 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie ha R = 5 Ω, L = 20 mH e C = 2,2 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.
R = 5 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
B = Hz
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: E = 2,175 × 10⁶ N/C
Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.
Campo di ciascuna carica
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,45² = 177580 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,15² = 1,998 × 10⁶ N/C
Versi e somma
Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.
E = |177580 + 1,998 × 10⁶| = 2,175 × 10⁶ N/C
Risposta
E = 2,175 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: y = 0,3605 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tempo tra le armature
t = L/v₀ = 0,05/5 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s
Accelerazione laterale
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4100/9,109 × 10⁻³¹ = 7,211 × 10¹⁴ m/s²
Freccia
y = ½·a·t² = ½·7,211 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0,0003605 m = 0,3605 mm
Risposta
y = 0,3605 mm
L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 2,083 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 10 + 2 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Req = R1 + 2,4 = 12 + 2,4 = 14,4 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 30/14,4 = 2,083 A
Risposta
IR1 = 2,083 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 0,7994 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 10 + 3 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 9,07 Ω
R3 + 9,07 = 29,07 Ω
R2 ∥ 29,07 = 14,76 Ω
Req = R1 + 14,76 = 4 + 14,76 = 18,76 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 15/18,76 = 0,7994 A
Risposta
IR1 = 0,7994 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: t = 3,151 ms
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo e corrente finale
Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.
τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0,1818 A
Risolvi per il tempo
0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −4,545·ln(0,5) = 3,151 ms
Risposta
t = 3,151 ms
6.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 1,839 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Tensione iniziale del condensatore
A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.
vC(0) = 10·10/(10 + 10) = 5 V
Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore
τ = R2·C = 10·100 = 1000 ms
Scarica
vC(t) = 5·e−1000/1000 = 1,839 V
Risposta
vC = 1,839 V
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: I = 960 mA
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
F.e.m. di movimento
ε = BLv = 0,4·0,3·4 = 0,48 V
Corrente
I = ε/R = 0,48/0,5 = 0,96 A
Risposta
I = 960 mA
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: E0 = 117,8 V
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Velocità angolare e area
ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
A = 0,01 m²
F.e.m. di picco
E₀ = NBAω = 250·0,3·0,01·157,1 = 117,8 V
Risposta
E0 = 117,8 V
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,03869 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−257,7)²) = 258,5 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 10/258,5 = 0,03869 A
Risposta
I = 0,03869 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: B = 39,79 Hz
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Frequenza di risonanza
f0 = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz
Fattore di qualità
Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(2,2·10⁻⁶)) = 19,07
Larghezza di banda
B = f0/Q = 758,7/19,07 = 39,79 Hz
Risposta
B = 39,79 Hz
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