Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC−−6 µCP50 cm

Una carica di +2 µC e una carica di −6 µC si trovano a 50 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 20 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q1 = +2 µCq2 = −6 µCr1 = 20 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
6 cm10 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +4 µC

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 1 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 4 µC si trova a 6 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 10 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q1 = 4 µCq2 = 4 µCq3 = 1 µCr13 = 6 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩIR2​AR4​2 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩIR2​AR4​30 ΩBR6​4 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 30 ΩR5 = 5 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​6 Vt = 0R = 33 ΩL150 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W(∞) immagazzinata nell’induttore una volta che il circuito si è stabilizzato, in mJ.

Vs = 6 VR = 33 ΩL = 150 mH
W(∞) = mJ
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​9 Vt = 0R = 2,2 kΩC?+−vC​

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 9 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 4,5 V, esattamente 200 ms dopo l’avvio. Con R = 2,2 kΩ, trova la capacità C necessaria.

Vs = 9 VVth = 4,5 VT = 200 msR = 2,2 kΩ
C = µF
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 200 cm², N = 20B: 0 → 0,8 T

Una bobina di 20 spire, area 200 cm² e resistenza 25 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,8 T in 500 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 20A = 200 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 500 msR = 25 Ω
I = mA
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = ?15 cm × 10 cmN = 100B = 0,4 T

Una bobina di 100 spire, 15 cm × 10 cm, ruota in un campo uniforme di 0,4 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 159,9 V?

N = 100A = 15 cm × 10 cmB = 0,4 TErms = 159,9 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
100 V60 HzR = 10 ΩC = 100 µFI

Un resistore e un condensatore sono collegati in parallelo a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 60 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
12 V60 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 80 ΩC = 22 µF

Un resistore R1 è collegato in serie a un parallelo tra R2 e un condensatore C, a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 60 Hz. Trova il modulo dell’impedenza |Z|.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR1 = 15 ΩR2 = 80 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,049 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

Versi e somma

Il primo campo è diretto lontano dalla carica positiva e il secondo verso la carica negativa: entrambi hanno lo stesso verso.

E = |449500 + 599333| = 1,049 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,049 × 10⁶ N/C
2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 10,62 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F1 = k·4·1 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N
F2 = k·4·1 × 10⁻¹²/0,1² = 3,596 N

Somma vettoriale

F = √(9,989² + 3,596²) = 10,62 N

Risposta

F = 10,62 N
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,6522 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​2 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Req = R1 + 2,222 = 8 + 2,222 = 10,22 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 15/10,22 = 1,467 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,467·8 = 3,261 V
IR2 = VA/R2 = 3,261/5 = 0,6522 A

Risposta

IR2 = 0,6522 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,4085 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​4 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 5 + 4 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 6,923 Ω
R3 + 6,923 = 11,92 Ω
R2 ∥ 11,92 = 8,532 Ω
Req = R1 + 8,532 = 4 + 8,532 = 12,53 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 18/12,53 = 1,436 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 1,436·4 = 12,25 V
IR2 = VA/R2 = 12,25/30 = 0,4085 A

Risposta

IR2 = 0,4085 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: W(∞) = 2,479 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0,1818 A

Energia immagazzinata

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0,1818² = 2,479 mJ

Risposta

W(∞) = 2,479 mJ
6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 131,2 µF

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo richiesta

4,5 = 9·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 4,5))
τ = 200/0,6931 = 288,5 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 288,5/2,2 = 131,2 µF

Risposta

C = 131,2 µF
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 25,6 mA

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,8 − 0)·0,02 = 0,016 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,016/0,5 = 0,64 V

Corrente

I = ε/R = 0,64/25 = 0,0256 A

Risposta

I = 25,6 mA
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 3599 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·Erms = 226,1 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 226,1/(100·0,4·0,015) = 376,9 rad/s

Giri al minuto

n = 60·376,9/(2π) = 3599 rpm

Risposta

n = 3599 rpm
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 9,357 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Correnti di ramo

Entrambi i rami sono collegati direttamente all’alimentazione, quindi ognuno vede l’intera tensione V.

IR = V/R = 100/10 = 10 A
IX = V/XC = 100/26,53 = 3,77 A

Corrente totale

La corrente nel resistore è in fase con V e la corrente reattiva è sfasata di 90°, quindi si sommano come i cateti di un triangolo rettangolo.

I = √(IR² + IX²) = √(10² + 3,77²) = 10,69 A

Impedenza

|Z| = V/I = 100/10,69 = 9,357 Ω

Risposta

|Z| = 9,357 Ω
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: |Z| = 79,59 Ω

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanza

XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Zp in parte reale e parte immaginaria.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 55,55 − j36,86 Ω

Impedenza totale

Z = 15 + 55,55 − j36,86 = 70,55 − j36,86 Ω
|Z| = √(70,55² + 36,86²) = 79,59 Ω

Risposta

|Z| = 79,59 Ω

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