Legge di Coulomb e campo elettrico
- Legge di Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo di una carica puntiforme
- E = k·|q|/r²
- Costante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Forza su una carica
- F = q·E
Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Resistori in serie e parallelo
- Resistenze in serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistenze in parallelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Due in parallelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Legge di Ohm
- V = I·R
- Potenza
- P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
- Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
- Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
- Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Transitori RC e RL
- Costante di tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Risposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensatore in continua
- circuito aperto; vC non può variare a salto
- Induttore in continua
- cortocircuito; iL non può variare a salto
- A regime
- t ≈ 5τ
Metodo
- Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
- Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
- Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campi magnetici e induzione
- Filo rettilineo lungo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro di una bobina piana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide lungo
- B = μ0nI, n = N/L
- Costante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Forza su un filo
- F = BIL·sin θ
- Forza su una carica
- F = |q|vB·sin θ
- Moto circolare
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fili paralleli
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flusso
- Φ = BA·cos θ
- Legge di Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Asta in movimento
- ε = BLv
- Generatore
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induttanza
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Mutua induttanza
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selettore di velocità e spettrometro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Metodo
- Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
- Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
- Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
- Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.
Impedenza AC e fasori
- Impedenze
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Pulsazione
- ω = 2πf
- Modulo e fase
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Legge di Ohm con i fasori
- V = I·Z
Metodo
- Converti la frequenza: ω = 2πf.
- Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
- Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.
2Esercizi
1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +3 µC a sinistra, +10 µC a destra a 10 cm di distanza, e −10 µC tra loro, a 5 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +3 µCqR = +10 µCqM = −10 µCrL = 5 cmrR = 5 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 4,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 10 cm e il campo tra di esse è 4100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.
v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 4100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistori in serie e paralleloMedia
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
Trova la corrente IR2 in R2.
V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
L’induttore porta una corrente stazionaria di 2,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la tensione vR ai capi di R a t = 1 ms.
i(0) = 2,5 AR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vR = V
6.Transitori RC e RLDifficile
L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore vC in t = 60 ms.
Vs = 12 VR1 = 6,8 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 60 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
Una spira circolare si trova in un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. L’intensità del campo sta diminuendo. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno.
B: verso l’esterno della paginadB/dt < 0
- 1oraria
- 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
La corrente in un induttore da 40 mH varia in modo costante da 1 A a 4 A in 20 ms. Trova il modulo della f.e.m. autoindotta ε.
L = 40 mH1 A → 4 AΔt = 20 ms
ε = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF
I = A
3Soluzioni
1.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: F = 251,7 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Forza di ciascuna carica
Il verso verso destra è positivo.
FL = −k·3·10 × 10⁻¹²/0,05² = −107,9 N
FR = +k·10·10 × 10⁻¹²/0,05² = 359,6 N
Forza risultante
F = −107,9 + (359,6) = 251,7 N → |F| = 251,7 N
Risposta
F = 251,7 N
La forza risultante è diretta verso destra.
2.Legge di Coulomb e campo elettrico
Risposta: y = 1,78 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tempo tra le armature
t = L/v₀ = 0,1/4,5 × 10⁷ = 2,222 × 10⁻⁹ s
Accelerazione laterale
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4100/9,109 × 10⁻³¹ = 7,211 × 10¹⁴ m/s²
Freccia
y = ½·a·t² = ½·7,211 × 10¹⁴·(2,222 × 10⁻⁹)² = 0,00178 m = 1,78 mm
Risposta
y = 1,78 mm
L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.
3.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,235 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 3 + 8 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω
Req = R1 + 7,097 = 8 + 7,097 = 15,1 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 10/15,1 = 0,6624 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,6624·8 = 4,701 V
IR2 = VA/R2 = 4,701/20 = 0,235 A
Risposta
IR2 = 0,235 A
4.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 1,404 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 2,654 Ω
R3 + 2,654 = 14,65 Ω
R2 ∥ 14,65 = 1,76 Ω
Req = R1 + 1,76 = 2 + 1,76 = 3,76 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 6/3,76 = 1,596 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 1,596·2 = 2,808 V
IR2 = VA/R2 = 2,808/2 = 1,404 A
Risposta
IR2 = 1,404 A
5.Transitori RC e RL
Risposta: vR = 0,8422 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Costante di tempo
τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
Decadimento della corrente
i(t) = 2,5·e−1/0,2 = 0,01684 A
vR = R·i = 50·0,01684 = 0,8422 V
Risposta
vR = 0,8422 V
6.Transitori RC e RL
Risposta: vC = 0,1918 V
Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.
Tensione iniziale del condensatore
A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.
vC(0) = 12·2,2/(6,8 + 2,2) = 2,933 V
Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore
τ = R2·C = 2,2·10 = 22 ms
Scarica
vC(t) = 2,933·e−60/22 = 0,1918 V
Risposta
vC = 0,1918 V
7.Campi magnetici e induzione
Risposta: antioraria
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variazione di flusso
Il flusso entrante nella pagina aumenta, oppure il flusso uscente dalla pagina diminuisce.
Campo della corrente indotta
La corrente indotta si oppone alla variazione.
Campo indotto all’interno della spira: uscente dalla pagina.
Verso della corrente
Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.
antioraria
Risposta
antioraria
8.Campi magnetici e induzione
Risposta: ε = 6 V
Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
F.e.m. autoindotta
La f.e.m. si oppone alla variazione di corrente (Lenz), quindi il suo segno è opposto a ΔI; il valore è L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,04·3/0,02 = 6 V
Risposta
ε = 6 V
9.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 1,524 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−113)²) = 150,9 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 230/150,9 = 1,524 A
Risposta
I = 1,524 A
10.Impedenza AC e fasori
Risposta: I = 0,07319 A
Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.
Reattanze
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Impedenza
In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (326,6)²) = 327,9 Ω
Corrente
In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.
I = V/|Z| = 24/327,9 = 0,07319 A
Risposta
I = 0,07319 A
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