Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Una carica di +3 µC e una carica di +10 µC si trovano a 20 cm di distanza. Il punto P si trova sulla congiungente, tra le due cariche, a 10 cm dalla prima. Trova il modulo del campo elettrico E in P.

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 2,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 5 cm e il campo tra di esse è 1400 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 1400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 20 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente i₂ in R₂ a t = 400 ms.

V_s = 15 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 220 µFt = 400 ms

i₂ = mA

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una particella alfa si muove a 1 × 10⁶ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,4 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

In un selettore di velocità, campi incrociati E = 1 × 10⁴ V/m e B = 0,2 T lasciano passare in linea retta solo gli ioni di una certa velocità. Trova quella velocità v.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 1000 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 60 Hz. Trova la frequenza di risonanza f₀ del circuito.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 6,293 × 10⁶ N/C

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Campo di ciascuna carica

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1² = 2,697 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C

Versi e somma

Entrambe le cariche sono positive: in P ciascun campo è diretto lontano dalla propria carica, quindi i due hanno versi opposti.

E = |2,697 × 10⁶ − 8,99 × 10⁶| = 6,293 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 6,293 × 10⁶ N/C

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,4924 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,05/2,5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1400/9,109 × 10⁻³¹ = 2,462 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·2,462 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0004924 m = 0,4924 mm

Risposta

y = 0,4924 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 2 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 6·30/(6+30) = 5 Ω

R_eq = R₁ + 5 = 5 + 5 = 10 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10 = 2,4 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,4·5 = 12 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12/6 = 2 A

Risposta

I_R2 = 2 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,4339 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 3 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 8,182 Ω

R₃ + 8,182 = 38,18 Ω

R₂ ∥ 38,18 = 1,9 Ω

R_eq = R₁ + 1,9 = 20 + 1,9 = 21,9 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/21,9 = 0,4566 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,4566·20 = 0,8678 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8678/2 = 0,4339 A

Risposta

I_R2 = 0,4339 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,2938 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 20/68 = 0,2941 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2941·(1 − e^−1/0,1471) = 0,2938 A

Risposta

i = 0,2938 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: i₂ = 1,572 mA

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 15·3,3/(2,2 + 3,3) = 9 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 3,3·220 = 726 ms

Scarica

v_C(t) = 9·e^−400/726 = 5,188 V

i₂ = v_C/R₂ = 5,188/3,3 = 1,572 mA

Risposta

i₂ = 1,572 mA

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 5,185 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·1 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,05185 m = 5,185 cm

Risposta

r = 5,185 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: v = 50000 m/s

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0,2 = 50000 m/s

Risposta

v = 50000 m/s

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = 83,44 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (870,1)²) = 875,9 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(870,1/100) = 83,44°

Risposta

φ = 83,44°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: f₀ = 67,86 Hz

Risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC). La frequenza di alimentazione non conta.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·22·10⁻⁶)) = 67,86 Hz

Risposta

f₀ = 67,86 Hz

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