Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +3 µC a sinistra, +1 µC a destra a 10 cm di distanza, e −8 µC tra loro, a 4 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +1 µCq_M = −8 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 2 cm e il campo tra di esse è 1200 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 1200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova l’energia W immagazzinata nell’induttore a t = 5 ms, in mJ.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitori RC e RLDifficile

Un temporizzatore inizia a caricare un condensatore scarico attraverso un resistore da un’alimentazione di 12 V a t = 0. Deve scattare quando la tensione del condensatore raggiunge 6 V, esattamente 200 ms dopo l’avvio. Con R = 10 kΩ, trova la capacità C necessaria.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 200 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 250 spire, area 100 cm² e resistenza 5 Ω forma un circuito chiuso. Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0 T a 0,2 T in 10 ms. Trova la corrente indotta media I.

N = 250A = 100 cm²B: 0 T → 0,2 TΔt = 10 msR = 5 Ω

I = A

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un deutone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 1000 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie con C = 0,1 µF deve entrare in risonanza a 200 Hz. Trova l’induttanza L necessaria.

f₀ = 200 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 100 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 114,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·3·8 × 10⁻¹²/0,04² = −134,8 N

F_R = +k·1·8 × 10⁻¹²/0,06² = 19,98 N

Forza risultante

F = −134,8 + (19,98) = −114,9 N → |F| = 114,9 N

Risposta

F = 114,9 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,4221 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,02/1 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1200/9,109 × 10⁻³¹ = 2,11 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·2,11 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0004221 m = 0,4221 mm

Risposta

y = 0,4221 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,8491 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 15 + 2,667 = 17,67 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/17,67 = 0,8491 A

Risposta

I_R1 = 0,8491 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,133 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 8,308 Ω

R₃ + 8,308 = 12,31 Ω

R₂ ∥ 12,31 = 2,412 Ω

R_eq = R₁ + 2,412 = 2 + 2,412 = 4,412 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/4,412 = 1,133 A

Risposta

I_R1 = 1,133 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: W = 2,102 mJ

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Corrente all’istante dato

i(t) = 0,2727·(1 − e^−5/2,061) = 0,2486 A

Energia immagazzinata

W = ½·L·i² = ½·68·0,2486² = 2,102 mJ

Risposta

W = 2,102 mJ

6.Transitori RC e RL

Risposta: C = 28,85 µF

Costante di tempo richiesta

6 = 12·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(12/(12 − 6))

τ = 200/0,6931 = 288,5 ms

Capacità

kΩ per µF dà millisecondi.

C = τ/R = 288,5/10 = 28,85 µF

Risposta

C = 28,85 µF

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: I = 10 A

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,2 − 0)·0,01 = 0,002 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,002/0,01 = 50 V

Corrente

I = ε/R = 50/5 = 10 A

Risposta

I = 10 A

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,8077 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,008077 m = 0,8077 cm

Risposta

r = 0,8077 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: L = 6333 mH

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Condizione di risonanza

In risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·0,1·10⁻⁶) = 6333 mH

Risposta

L = 6333 mH

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 79,41 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−40,93)²) = 45,55 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/45,55 = 1,098 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 1,098·72,34 = 79,41 V

Risposta

V_C = 79,41 V

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