Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
−−2 µC++4 µCr = 15 cm

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −2 µC e +4 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 15 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −2 µCq2 = +4 µCr = 15 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
+−P2 × 5 cm10 cm+2 µC−2 µC

Cariche di +2 µC e −2 µC distano 10 cm. Il punto P si trova a 10 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 10 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​5 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 95% del suo valore finale? Trova t.

Vs = 24 VR = 10 ΩL = 150 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 10 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 400 ms.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 10 Vt = 400 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
nBA = 200 cm², N = 250B: 0,1 → 0,3 T

Una bobina di 250 spire ha un’area di 200 cm². Un campo uniforme perpendicolare alla bobina sale in modo costante da 0,1 T a 0,3 T in 10 ms. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 250A = 200 cm²B: 0,1 T → 0,3 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 1800 rpm10 cm × 10 cmN = 50B = 0,1 T

Una bobina di 50 spire, 10 cm × 10 cm, ruota a 1800 giri/min in un campo uniforme di 0,1 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 50A = 10 cm × 10 cmB = 0,1 Tn = 1800 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
230 V200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 200 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF
φ = °
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
10 V500 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF+−VC​

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 500 Hz. Trova la tensione efficace VC ai capi del condensatore.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,3996 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−2 + 4)/2 = 1 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,3996 N

Risposta

F = 0,3996 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 1,287 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distanza e campo di una carica

r = √(5² + 10²) = 11,18 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1118² = 1,438 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo l’asse si annullano.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,438 × 10⁶·0,4472 = 1,287 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 1,287 × 10⁶ N/C

Il campo è parallelo alla retta che va dalla carica positiva verso quella negativa.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 23,33 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω
Req = R1 + 3,333 = 20 + 3,333 = 23,33 Ω

Risposta

Req = 23,33 Ω
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 0,1868 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 3 + 5 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 6,061 Ω
R3 + 6,061 = 21,06 Ω
R2 ∥ 21,06 = 8,761 Ω
Req = R1 + 8,761 = 10 + 8,761 = 18,76 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 6/18,76 = 0,3198 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,3198·10 = 2,802 V
IR2 = VA/R2 = 2,802/15 = 0,1868 A

Risposta

IR2 = 0,1868 A
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 44,94 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2,4 A

Risolvi per il tempo

0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −15·ln(0,05) = 44,94 ms

Risposta

t = 44,94 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 12,89 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 15 + (10 − 15)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(400) = 15 + (−5)·e−400/462,4 = 12,89 V

Risposta

vC = 12,89 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 100 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = (0,3 − 0,1)·0,02 = 0,004 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,004/0,01 = 100 V

Risposta

ε = 100 V
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 9,425 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
A = 0,01 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 50·0,1·0,01·188,5 = 9,425 V

Risposta

E0 = 9,425 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −38,4 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−47,56)²) = 76,56 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−47,56/60) = −38,4°

Risposta

φ = −38,4°
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: VC = 1,125 V

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (282,3)²) = 283 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/283 = 0,03533 A

Tensione sul condensatore

VC = I·XC = 0,03533·31,83 = 1,125 V

Risposta

VC = 1,125 V

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