Segnali e sistemi: pacchetto last-minute

Convoluzione continua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Ribalta h, falla scorrere fino alla posizione t e integra il prodotto delle parti sovrapposte. Per segnali causali l’integrale va da 0 a t. Risultati utili: l’area di y è l’area di x per l’area di h; se x dura da t₁ a t₂ e h da t₃ a t₄, y dura da t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Per h(t) = e^−atu(t) e un gradino di altezza A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Risposta impulsiva e serie di Fourier: la risposta impulsiva h(t) descrive completamente un sistema LTI: per y′ + a·y = b·x è h(t) = b·e^−atu(t), e per y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] è h[n] = b·aⁿu[n]. Una sinusoide cos ωt passa con guadagno |H(jω)| e fase ∠H(jω), dove H è la trasformata di Fourier di h. Un segnale periodico è una somma di armoniche a k/T: un’onda quadra di ±A ha solo armoniche dispari con ampiezze 4A/(kπ), un’onda triangolare di picco A ha 8A/(π²k²), e un treno di impulsi di altezza A e rapporto di duty D ha il valor medio A·D e le armoniche (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e^−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Trasformata di Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt trasforma le derivate in moltiplicazioni per s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Coppie standard: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e una traslazione s → s + σ moltiplica la funzione nel tempo per e^−σt. Per antitrasformare una F(s) razionale, scomponila in fratti semplici: il residuo di un polo semplice p è A = [(s − p)·F(s)] in s = p. Teorema del valore finale: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valido solo quando tutti i poli di s·F(s) giacciono nel semipiano sinistro. Teorema del valore iniziale: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo di picco t_p = π/ω_d, e tempo di assestamento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Risposta al gradino: un sistema del primo ordine G(s) = K/(τs + 1) risponde a un gradino di ampiezza U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): raggiunge il 63,2 % del valore finale K·U dopo una costante di tempo τ e il 98 % dopo 4τ. Un sistema del secondo ordine G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) ha i poli s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Per 0 < ζ < 1 la risposta al gradino ha sovraelongazione: sovraelongazione percentuale %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tempo di picco t_p = π/ω_d, e tempo di assestamento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Confronta il denominatore con s² + 2ζωₙs + ωₙ² per ricavare ωₙ e ζ. Per un sistema massa-molla-smorzatore ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); per un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ω_c = 1/(RC) oppure R/L, e f_c = ω_c/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsazione di attraversamento della fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.

Risposta in frequenza: sostituisci s = jω nella funzione di trasferimento. Il modulo in decibel è 20·log₁₀|H(jω)| e la fase è la somma degli angoli dei fattori al numeratore meno quelli dei fattori al denominatore. Un filtro RC o RL del primo ordine ha la frequenza di taglio (−3 dB) a ω_c = 1/(RC) oppure R/L, e f_c = ω_c/(2π); un filtro passa-basso dà |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). Nel diagramma di Bode asintotico (a segmenti) ogni polo piega il modulo verso il basso di 20 dB/decade alla sua frequenza di taglio, ogni zero lo piega verso l’alto di 20 dB/decade, e un integratore 1/s dà −20 dB/decade a tutte le frequenze. Pulsazione di attraversamento del guadagno ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margine di fase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsazione di attraversamento della fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margine di guadagno GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. L’anello chiuso è stabile quando entrambi i margini sono positivi.