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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Una forza costante F = (−30, −30, 0) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(5, 4, 1) al punto B(0, 1, 1). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.

F = (−30, −30, 0) NA(5, 4, 1) mB(0, 1, 1) m

W = J

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Per a = (1, 5, 2) e b = (−5, 5, 6), trova la componente y (a × b)_y del prodotto vettoriale a × b.

a = (1, 5, 2)b = (−5, 5, 6)

(a × b)_y =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che decresce da 8 kN/m in A fino a zero in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 5 mw₀ = 8 kN/m

R_B = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 3 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P a 0,5 m da A e un carico uniformemente distribuito w da 3 m fino all’estremo libero a 4 m. Trova la reazione verticale R_A, considerando positivo il verso verso l’alto.

AB = 3 mAC = 4 mP = 60 kN in 0,5 mw = 12 kN/m da 3 a 4 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 4 m da Acarico verticale = 15 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 35 kNcarico orizzontale = 20 kN →

F_AB = kN

7.Telai e macchineMedia

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2,4 m, e il tirante orizzontale DE è a 1,2 m dal suolo. Un carico di 8 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.

P = 8 kNAB = 3,2 maltezza di C = 2,4 maltezza di DE = 1,2 m

C = kN

8.Telai e macchineDifficile

La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 0,75 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 1,5 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 10 kN all’estremità libera B. Trova la forza F_CD nel puntone.

w = 1,5 kN/mP = 10 kNAD = 1,2 mAB = 3,6 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 20 kN in 1 mw = 4 kN/m da 0 a 3 m

M_A = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 6 m30 kN @ 1 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 110 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 18 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 160 mmh = 110 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 180 mm e spesse 22 mm, un’altezza complessiva di 480 mm e un’anima spessa 6 mm. Porta un momento flettente di 60 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 180 mmH = 480 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: W = 240 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Spostamento

d = B − A = (0, 1, 1) − (5, 4, 1) = (−5, −3, 0) m

Lavoro

W = F·d = (−30)·(−5) + (−30)·(−3) + 0·0 = 240 J

Risposta

W = 240 J

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: (a × b)_y = −16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale, componente per componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·6 − 2·5 = 20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−5) − 1·6 = −16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·5 − 5·(−5) = 30

Componente richiesta

(a × b)_y = −16

Risposta

(a × b)_y = −16

Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 6,667 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,667

R_B = 6,667 kN

R_A = 20 − 6,667 = 13,33 kN

Risposta

R_B = 6,667 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 48 kN

Risultante del carico distribuito

W = 12·1 = 12 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3,5 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 60·0,5 + 12·3,5

R_B = 72/3 = 24 kN

R_A = 72 − 24 = 48 kN

Risposta

R_A = 48 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −7,071 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10 = 5 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,7071 = −7,071 kN

Risposta

F_AB = −7,071 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −24,38 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·1 + 20·3 → C_y = 11,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 11,88 = 23,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −23,13/0,9487 = −24,38 kN

Risposta

F_AB = −24,38 kN (compressione)

7.Telai e macchine

Risposta: C = 6,667 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel tirante dalla gamba BC

B_y = 4 kN

T = 4·1,6/1,2 = 5,333 kN

Componenti della forza sulla cerniera di BC

C_x = T = 5,333 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Modulo

C = √(5,333² + 4²) = 6,667 kN

Risposta

C = 6,667 kN

8.Telai e macchine

Risposta: F_CD = 71,89 kN

Risultante del carico uniforme

w·L = 1,5·3,6 = 5,4 kN in 1,8 m

Momenti rispetto ad A per la trave

F_CD·0,53·1,2 = 5,4·1,8 + 10·3,6 = 45,72 kN·m

F_CD = 71,89 kN

Risposta

F_CD = 71,89 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −38 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −20·1 = −20 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −20 − 18 = −38 kN·m

Risposta

M_A = −38 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

10.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 22 kN, R₂ = 57 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 19, M_C = 2, M_D = −21, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −50 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 7,074 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

due ali: A₂ = 2·18·92 = 3312 mm², y₂ = 18 + 92/2 = 64 mm

Baricentro

ȳ = (2880·9 + 3312·64)/6192 = 38,42 mm

Teorema del trasporto

base: 160·18³/12 + 2880·(9 − 38,42)² = 2,57 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·18·92³/12 + 3312·(64 − 38,42)² = 4,503 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,57 × 10⁶ + 4,503 × 10⁶

I_x = 7,074 × 10⁶ mm⁴ = 7,074 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 7,074 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 28,62 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 480 − 2·22 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·480³ − 174·436³)/12

I_x = 4,571 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 240 − 22 = 218 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·218/4,571 × 10⁸ = 28,62 MPa

Risposta

σ_j = 28,62 MPa

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