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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova la proiezione scalare compb a di a = (3, 2, 7) su b = (6, 0, −1), cioè la componente di a nella direzione di b.
a = (3, 2, 7)b = (6, 0, −1)
compb a =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Per a = (−5, 0, 2) e b = (2, 4, 6), trova la componente y (a × b)y del prodotto vettoriale a × b.
a = (−5, 0, 2)b = (2, 4, 6)
(a × b)y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 6 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Trova la reazione verticale RA, considerando positivo il verso verso l’alto.
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 70 kN in 4 mP2 = 30 kN in 8 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico linearmente variabile che vale 8 kN/m alla parete e decresce fino a zero all’estremo libero B, più un carico concentrato P a 7 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 8 mw0 = 8 kN/mP = 25 kN in 7 m
MA = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 60 kN
FBC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 45 kNcarico orizzontale = 30 kN ←
FAB = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2 m, e il tirante orizzontale DE è a 0,8 m dal suolo. Un carico di 15 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 15 kNAB = 4 maltezza di C = 2 maltezza di DE = 0,8 m
C = kN
8.Telai e macchineDifficile
Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 200 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 10 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 3000 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.
Q = 3000 NAB = BC = 200 mmh = 10 mm
F = N
9.Taglio e momento flettenteMedia
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
40 kN @ 8 m5 kN/m, 4–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 8 mw = 10 kN/m da 3 a 5 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 200 mm con due ali verticali, alta 90 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
b = 200 mmh = 90 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σin alto al bordo superiore.
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = 3·6 + 2·0 + 7·(−1) = 11
Lunghezza di b
|b| = √(6² + 0² + (−1)²) = 6,083
Proiezione scalare
compb a = a·b/|b| = 11/6,083 = 1,808
Risposta
compb a = 1,808
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: (a × b)y = 34
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Prodotto vettoriale, componente per componente
(a × b)x = aybz − azby = 0·6 − 2·4 = −8
(a × b)y = azbx − axbz = 2·2 − (−5)·6 = 34
(a × b)z = axby − aybx = (−5)·4 − 0·2 = −20
Componente richiesta
(a × b)y = 34
Risposta
(a × b)y = 34
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 13,33 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A
Positivo in senso antiorario.
ΣMA = 0: RB·6 = 70·4 + 30·8
RB = 520/6 = 86,67 kN
Equilibrio verticale
RA = 70 + 30 − 86,67 = 13,33 kN
Risposta
RA = 13,33 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 260,3 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico triangolare
W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m
Momento rispetto alla parete
MA = W·x̄ + P·a = 32·2,667 + 25·7 = 260,3 kN·m
Risposta
MA = 260,3 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −43,27 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·1 − 30·4 → Cy = −15 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − −15 = 60 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −60/0,9701 = −61,85 kN
Risposta
FAB = −61,85 kN (compressione)
7.Telai e macchine
Risposta: C = 14,58 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel tirante dalla gamba BC
By = 7,5 kN
T = 7,5·2/1,2 = 12,5 kN
Componenti della forza sulla cerniera di BC
Cx = T = 12,5 kN, Cy = −By = −7,5 kN
Modulo
C = √(12,5² + 7,5²) = 14,58 kN
Risposta
C = 14,58 kN
8.Telai e macchine
Risposta: F = 300,4 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Angolo della biella
sin θ = 10/200 = 0,05, θ = 2,866°
Forza nella biella
Flink = Q/cos θ = 3004 N
Forza in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 300,4 N
Risposta
F = 300,4 N
9.Taglio e momento flettente
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 26,67 kN, R2 = 53,33 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 53,33, MC = 106,7, MD = 150, ME = 173,3 kN·m, MF = 96,67, MG = 0
Risposta
Punto E: ME = 173,3 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 35 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, applicata in x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·2·4
RB = 80/8 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
Taglio nullo
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in rettangoli
Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.
base: A1 = 200·16 = 3200 mm², y1 = 8 mm
due ali: A2 = 2·16·74 = 2368 mm², y2 = 16 + 74/2 = 53 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 160 + 15/2 = 167,5 mm