Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova l’angolo θ tra i vettori a = (−3, 3, −1) e b = (−2, 3, −3), in gradi.
a = (−3, 3, −1)b = (−2, 3, −3)
θ = °
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Trova il volume V del parallelepipedo i cui spigoli uscenti da un vertice sono a = (−5, −1, 4), b = (5, 5, −5) e c = (−4, −3, 1).
a = (−5, −1, 4)b = (5, 5, −5)c = (−4, −3, 1)
V =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che cresce da zero in A fino a 4 kN/m in B. Agisce anche un carico concentrato P a 4,5 m da A. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 5 mw0 = 4 kN/mP = 80 kN in 4,5 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 0,5 m da A, inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 3 m da A. Trova il modulo della reazione totale RA nella cerniera A.
L = 6 mP = 45 kN in 0,5 m, θ = 30°Q = 50 kN in 3 m
RA = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 4 mB è a 2 m da Acarico verticale = 40 kN
FAC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 40 kN →
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 25° con la retta AC. Una forza verso il basso di 150 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 150 Nθ = 25°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 4,8 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2,4 m, e sono legate dall’asta orizzontale DE a 1 m. Una forza orizzontale di 2 kN verso destra agisce in C. Trova la tensione T nel tirante.
P = 2 kNAB = 4,8 maltezza di C = 2,4 maltezza di DE = 1 m
T = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 10 mP1 = 70 kN in 3 mP2 = 55 kN in 6 m
Mmax = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 4 mP = 35 kN in 3 mw = 5 kN/m da 0 a 4 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo Mallow che la trave può sopportare.
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = (−3)·(−2) + 3·3 + (−1)·(−3) = 18
Moduli
|a| = √((−3)² + 3² + (−1)²) = 4,359
|b| = √((−2)² + 3² + (−3)²) = 4,69
Angolo
cos θ = 18/(4,359·4,69) = 0,8804
θ = arccos(0,8804) = 28,31°
Risposta
θ = 28,31°
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: V = 55
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Prodotto vettoriale b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·1 − (−5)·(−3) = −10
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·(−4) − 5·1 = 15
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·(−3) − 5·(−4) = 5
Prodotto scalare con a
a·(b × c) = (−5)·(−10) + (−1)·15 + 4·5 = 55
V = |55| = 55
Risposta
V = 55
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 11,33 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Risultante del carico triangolare
W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3,333 + 80·4,5
RB = 78,67 kN
RA = 90 − 78,67 = 11,33 kN
Risposta
RA = 11,33 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 60 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 45·sin 30° = 22,5 kN
Ph = 45·cos 30° = 38,97 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·6 = 22,5·0,5 + 50·3 → RB = 26,88 kN
Ay = 22,5 + 50 − 26,88 = 45,63 kN
Ax = Ph = 38,97 kN
Risultante in A
RA = √(38,97² + 45,63²) = 60 kN
Risposta
RA = 60 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAC = 13,33 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 13,33 = 26,67 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 25° = 150
Flink = 177,5 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 25° = 150/(2·tan 25°) = 160,8 N
Risposta
Q = 160,8 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 1,072 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: T = 1,714 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Telaio completo: momenti rispetto ad A
By·4,8 = 2·2,4
By = 1 kN
Gamba BC: momenti rispetto a C
1·2,4 = T·1,4
T = 1,714 kN
Risposta
T = 1,714 kN
Una T positiva significa che il tirante è teso, come supposto.
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 216 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
ΣMA = 0: RB·10 = 70·3 + 55·6
RB = 540/10 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 54 = 71 kN
Momento sotto ciascun carico
Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.
sotto P1: M = RA·3 = 71·3 = 213 kN·m
sotto P2: M = RB·4 = 54·4 = 216 kN·m
Valore massimo
Mmax = 216 kN·m (sotto P2)
Risposta
Mmax = 216 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 33,75 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·3 + 5·4·2
RB = 145/4 = 36,25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 36,25 = 18,75 kN
Dove è V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 3,75 kN
V(3⁺) = 3,75 − 35 = −31,25 kN
Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.