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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il prodotto scalare a·b di a = (5, −1, 7) e b = (−3, 4, 6).

a = (5, −1, 7)b = (−3, 4, 6)

a·b =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Una forza F = (−20, −10, −50) N agisce nel punto A(1, 2, 4). Le coordinate sono in metri. Trova la componente y M_y del momento della forza rispetto a il punto O(−3, 1, 0).

F = (−20, −10, −50) NA(1, 2, 4) mO(−3, 1, 0) m

M_y = N·m

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Porta un carico concentrato P a 2 m da A e una coppia antioraria M a 7 m da A. Trova la reazione verticale R_A, considerando positivo il verso verso l’alto.

L = 10 mP = 35 kN in 2 mM = 30 kN·m (antioraria) in 7 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave ha una cerniera in A e un carrello in B, a 7 m da A, e sporge a sbalzo oltre B fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P a 3 m da A e un carico uniformemente distribuito w da 6 m fino all’estremo libero a 10 m. Trova la reazione verticale R_B, considerando positivo il verso verso l’alto.

AB = 7 mAC = 10 mP = 75 kN in 3 mw = 8 kN/m da 6 a 10 m

R_B = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 4 m da Acarico verticale = 10 kN

F_AB = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 3 mB è a 4 m da Acarico verticale = 20 kNcarico orizzontale = 25 kN →

F_AC = kN

7.Telai e macchineMedia

Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 1,2 m sotto A. Un carico di 5 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.

P = 5 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Telai e macchineDifficile

La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 0,5 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 2,5 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 4 kN all’estremità libera B. Trova la forza F_CD nel puntone.

w = 2,5 kN/mP = 4 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 40 kN·m in x = 2 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m orario, in 2 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mP = 45 kN in 5 mw = 3 kN/m da 0 a 6 m

M_max = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: a·b = 23

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Moltiplica le componenti corrispondenti e somma

a·b = 5·(−3) + (−1)·4 + 7·6 = (−15) + (−4) + 42 = 23

Risposta

a·b = 23

Positivo: l’angolo tra i vettori è minore di 90°.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: M_y = 120 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vettore posizione da O ad A

r = A − O = (1, 2, 4) − (−3, 1, 0) = (4, 1, 4) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−50) − 4·(−10) = −10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·(−20) − 4·(−50) = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·(−10) − 1·(−20) = −20 N·m

Componente richiesta

M_y = 120 N·m

Risposta

M_y = 120 N·m

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 31 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Momenti rispetto ad A

Positivo in senso antiorario.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 35·2 + 30 = 0

R_B = 40/10 = 4 kN

Equilibrio verticale

R_A = 35 − 4 = 31 kN

Risposta

R_A = 31 kN

Una reazione negativa agisce verso il basso.

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 68,71 kN

Risultante del carico distribuito

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 75·3 + 32·8

R_B = 481/7 = 68,71 kN

R_A = 107 − 68,71 = 38,29 kN

Risposta

R_B = 68,71 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AB = −3,333 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·4 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8 = 2 kN

Nodo A

Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2/0,6 = −3,333 kN

Risposta

F_AB = −3,333 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 10,33 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 + 25·3 → C_y = 31 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 31 = −11 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −31/0,9487 = −32,68 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−32,68)·0,3162 = 10,33 kN

Risposta

F_AC = 10,33 kN (trazione)

7.Telai e macchine

Risposta: A = 14,88 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel puntone

F_CD = 5·2,5/(0,8321·0,8) = 18,78 kN

Componenti in A

A_x = F_CD·cos α = 10,42 kN (verso la parete)

A_y = 5 − F_CD·sin α = −10,62 kN

Modulo

A = √(10,42² + −10,62²) = 14,88 kN

Risposta

A = 14,88 kN

Un A_y negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.

8.Telai e macchine

Risposta: F_CD = 24,93 kN

Risultante del carico uniforme

w·L = 2,5·1,5 = 3,75 kN in 0,75 m

Momenti rispetto ad A per la trave

F_CD·0,7071·0,5 = 3,75·0,75 + 4·1,5 = 8,813 kN·m

F_CD = 24,93 kN

Risposta

F_CD = 24,93 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −16 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −8 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −8·2 = −16 kN·m

Risposta

M_x = −16 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 45 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 3·6·3

R_B = 279/6 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 46,5 = 16,5 kN

Dove è V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 1,5 kN

V(5⁺) = 1,5 − 45 = −43,5 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 16,5·5 − 3·5²/2 = 45 kN·m

Risposta

M_max = 45 kN·m

Si trova in x = 5 m da A.

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 49,64 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

anima: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 2600·130)/7600 = 223,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 223,8)² = 1,214 × 10⁷ mm⁴

anima: 10·260³/12 + 2600·(130 − 223,8)² = 3,75 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,214 × 10⁷ + 3,75 × 10⁷ = 4,964 × 10⁷ mm⁴ = 49,64 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 49,64 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 58,78 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

anima: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·250 + 4800·120)/9200 = 182,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·20³/12 + 4400·(250 − 182,2)² = 2,039 × 10⁷ mm⁴

anima: 20·240³/12 + 4800·(120 − 182,2)² = 4,159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,039 × 10⁷ + 4,159 × 10⁷ = 6,198 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 182,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·182,2/6,198 × 10⁷ = 58,78 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 58,78 MPa

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