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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova l’angolo θ tra i vettori a = (6, 2, 5) e b = (6, 0, 2), in gradi.
a = (6, 2, 5)b = (6, 0, 2)
θ = °
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Una forza F = (10, 0, −20) N agisce nel punto A(1, 4, 4). Le coordinate sono in metri. Trova la componente y My del momento della forza rispetto a l’origine O(0, 0, 0).
F = (10, 0, −20) NA(1, 4, 4) mO(0, 0, 0) m
My = N·m
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 10 mP1 = 35 kN in 2 mP2 = 20 kN in 5 m
RB = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 5 mP = 10 kN in 2,5 mw = 4 kN/m da 3 a 4 m
RA = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 25 kN
FAB = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FBC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 8 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 30 kNcarico orizzontale = 25 kN ←
FBC = kN
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 5° con la retta AC. Una forza verso il basso di 200 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 200 Nθ = 5°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 200 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 5 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 1500 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.
Q = 1500 NAB = BC = 200 mmh = 5 mm
F = N
9.Taglio e momento flettenteMedia
Trova il taglio Vx nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 6 mw = 2 kN/m da 0 a 6 mx = 5 m
Vx = kN
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 8 mP = 80 kN in 7 mw = 8 kN/m da 0 a 8 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una piastra di 120 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 70 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 60 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 100 mmh = 200 mmintaglio: 30 × 40 mmcentro del foro: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: θ = 25,56 °
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Prodotto scalare
a·b = 6·6 + 2·0 + 5·2 = 46
Moduli
|a| = √(6² + 2² + 5²) = 8,062
|b| = √(6² + 0² + 2²) = 6,325
Angolo
cos θ = 46/(8,062·6,325) = 0,9021
θ = arccos(0,9021) = 25,56°
Risposta
θ = 25,56°
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: My = 60 N·m
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Vettore posizione da O ad A
r = A − O = (1, 4, 4) − (0, 0, 0) = (1, 4, 4) m
Momento M = r × F
(r × F)x = ryFz − rzFy = 4·(−20) − 4·0 = −80 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = 4·10 − 1·(−20) = 60 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 1·0 − 4·10 = −40 N·m
Componente richiesta
My = 60 N·m
Risposta
My = 60 N·m
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 17 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·10 = 35·2 + 20·5
RB = 170/10 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 17 = 38 kN
Risposta
RB = 17 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 6,2 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, applicata in x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2,5 + 4·1·3,5
RB = 39/5 = 7,8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 7,8 = 6,2 kN
Risposta
RA = 6,2 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAB = −20,62 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 5 = 20 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,9701 = −20,62 kN
Risposta
FAB = −20,62 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FBC = −3,953 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·2 − 25·2 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 1,25 = 28,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 5° = 200
Flink = 1147 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N
Risposta
Q = 1143 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 5,715 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: F = 75,02 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Angolo della biella
sin θ = 5/200 = 0,025, θ = 1,433°
Forza nella biella
Flink = Q/cos θ = 1500 N
Forza in B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 75,02 N
Risposta
F = 75,02 N
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Vx = −4 kN
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
V = RA − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)
Vx = 6 − 2·5 = −4 kN
Risposta
Vx = −4 kN
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 110,3 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, applicata in x̄ = 4 m
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (24000·100 − 706,9·70)/(24000 − 706,9) = 100,9 mm
Piastra piena rispetto a ȳ
120·200³/12 + 24000·−0,9104² = 80,02 × 10⁶ mm⁴
Foro rispetto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−30,91² = 0,7151 × 10⁶ mm⁴
Sottrai
Ix = 79,3 × 10⁶ mm⁴
Risposta
Ix = 79,3 × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 64,46 × 10⁶ mm⁴
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (20000·100 − 1200·60)/(20000 − 1200) = 102,6 mm