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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il valore di k per cui i vettori a = (−4, −2, 5) e b = (−1, −5, k) sono perpendicolari.
a = (−4, −2, 5)b = (−1, −5, k)
k =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Trova l’area A del triangolo con vertici A(2, −3, 3), B(3, 0, 4) e C(2, −4, 0). Le coordinate sono in metri.
A(2, −3, 3)B(3, 0, 4)C(2, −4, 0)
A = m²
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 8 mP1 = 25 kN in 1 mP2 = 30 kN in 7 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 8 mP = 25 kN in 1 mw = 5 kN/m da 1 a 7 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 3 mB è a 1 m da Acarico verticale = 55 kN
FAB = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 4 mB è a 3 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 5 kN ←
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
La leva a squadra mostrata ruota attorno al perno O. Una forza verticale di 50 N in A (200 mm da O) è equilibrata da una forza orizzontale in B (80 mm sopra O). Trova il modulo della reazione sul perno FO.
F = 50 NOA = 200 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Telai e macchineDifficile
Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 1 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo da B al punto C sulla parete, 2 m sopra A. Un carico di 12 kN è appeso in B. Trova il modulo della reazione sulla cerniera A.
W = 12 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 2 m
A = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.
40 kN @ 8 m6 kN/m, 0–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x0 da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.
L = 8 mw = 20 kN/m da 1 a 6 m
x0 = m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Un tubo circolare ha diametro esterno D = 160 mm e diametro interno d = 136 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.
D = 160 mmd = 136 mm
r = mm
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 30 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo Mallow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Il prodotto scalare è uguale a zero
a·b = (−4)·(−1) + (−2)·(−5) + 5·k = 0
14 + 5·k = 0
Risolvi per k
k = −14/5 = −2,8
Risposta
k = −2,8
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: A = 4,301 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 30·7
RB = 235/8 = 29,38 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 29,38 = 25,63 kN
Risposta
RA = 25,63 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 18,13 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 5·6·4
RB = 145/8 = 18,13 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 18,13 = 36,88 kN
Risposta
RB = 18,13 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAB = −43,48 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,75 = 41,25 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −41,25/0,9487 = −43,48 kN
Risposta
FAB = −43,48 kN (compressione)
6.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAC = 10 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 5·4 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Forza in B
Q = 50·200/80 = 125 N
Reazione sul perno
Ox = 125 N, Oy = 50 N
FO = √(125² + 50²) = 134,6 N
Risposta
FO = 134,6 N
8.Telai e macchine
Risposta: A = 12,51 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Tensione nel cavo
T = (12 + 1/2)/0,7071 = 17,68 kN
Componenti in A
Ax = T·cos β = 12,5 kN
Ay = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Modulo
A = √(12,5² + 0,5²) = 12,51 kN
Risposta
A = 12,51 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: E (x = 8 m)
Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.
Reazioni vincolari
Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.
R1 = 49,33 kN, R2 = 62,67 kN
Momento flettente in ogni punto
Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.
MA = 0, MB = 86,67, MC = 149,3, MD = 188, ME = 202,7 kN·m, MF = 113,3, MG = 0
Risposta
Punto E: ME = 202,7 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: x0 = 3,813 m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 20·5 = 100 kN, applicata in x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·5·3,5
RB = 350/8 = 43,75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 43,75 = 56,25 kN
Taglio nullo
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 56,25/20 = 3,813 m
Risposta
x0 = 3,813 m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: r = 52,5 mm
Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = Ic + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.
Area netta e momento d’inerzia netto
A = π(D² − d²)/4 = 5579 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,538 × 10⁷ mm⁴
Raggio d’inerzia
r = √(I/A) = √(1,538 × 10⁷/5579) = 52,5 mm
Risposta
r = 52,5 mm
12.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Mallow = 3,648 kN·m
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.