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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Una forza costante F = (5, 25, −5) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(−1, 0, 2) al punto B(−3, 4, 2). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.
F = (5, 25, −5) NA(−1, 0, 2) mB(−3, 4, 2) m
W = J
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Per a = (0, −5, −4) e b = (1, 1, 0), trova la componente y (a × b)y del prodotto vettoriale a × b.
a = (0, −5, −4)b = (1, 1, 0)
(a × b)y =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w dalla parete fino a 4 m e un carico concentrato P a 7 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
L = 8 mP = 45 kN in 7 mw = 2 kN/m da 0 a 4 m
MA = kN·m
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RB.
L = 4 mP = 25 kN in 1,5 mw = 2 kN/m da 2 a 4 m
RB = kN
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
D: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓F: 40 kN →H: 25 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG
7.Telai e macchineMedia
Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 1,5 m sotto A. Un carico di 10 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.
P = 10 kNAD = 1 mAB = 2,4 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 4 m di distanza, e B è alta 4 m e 1,2 m a destra di A. L’elemento AB porta un carico verticale di 10 kN in K, a 0,6 m (in orizzontale) da A, e un carico orizzontale di 10 kN verso destra agisce in B sull’elemento AB. Trova il modulo della reazione orizzontale Ax in A.
P = 10 kNQ = 10 kNL = 4 mH = 4 mdistanza orizzontale da A a B = 1,2 mdistanza orizzontale da A a K = 0,6 m
Ax = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M0 = 40 kN·m in x = 7 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente Mx immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 8 mM0 = 40 kN·m orario, in 7 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 4 mP = 60 kN in 3 mw = 5 kN/m da 0 a 4 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 220 mm con due ali verticali, alta 100 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
b = 220 mmh = 100 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 230 mm e spesse 22 mm, un’altezza complessiva di 400 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 100 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σj all’attacco tra anima e ala superiore.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Spostamento
d = B − A = (−3, 4, 2) − (−1, 0, 2) = (−2, 4, 0) m
Lavoro
W = F·d = 5·(−2) + 25·4 + (−5)·0 = 90 J
Risposta
W = 90 J
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: (a × b)y = −4
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale, componente per componente
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·0 − (−4)·1 = 4
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·1 − 0·0 = −4
(a × b)z = axby − aybx = 0·1 − (−5)·1 = 5
Componente richiesta
(a × b)y = −4
Risposta
(a × b)y = −4
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 331 kN·m
Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale RA e un momento di reazione MA. ΣFy = 0 dà RA, e i momenti rispetto alla parete danno MA = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.
Risultante del carico distribuito
W = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m
Momento rispetto alla parete
MA = P·a + W·x̄ = 45·7 + 8·2 = 331 kN·m
Risposta
MA = 331 kN·m
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RB = 12,38 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Diagramma di corpo libero
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1,5 + 2·2·3
RB = 49,5/4 = 12,38 kN
ΣFy = 0: RA = 29 − 12,38 = 16,63 kN
Risposta
RB = 12,38 kN
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta BF
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo B
AB e BC stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo C
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Forza nel puntone
FCD = 10·2,4/(0,8321·1) = 28,84 kN
Componenti in A
Ax = FCD·cos α = 16 kN (verso la parete)
Ay = 10 − FCD·sin α = −14 kN
Modulo
A = √(16² + −14²) = 21,26 kN
Risposta
A = 21,26 kN
Un Ay negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.
8.Telai e macchine
Risposta: Ax = 1,95 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Direzione di BC
BC = 4,883 m, cos = 0,5735, sin = 0,8192
Telaio completo: momenti rispetto ad A
FBC·0,8192·4 = 10·0,6 + 10·4
FBC = 14,04 kN
Equilibrio orizzontale
Ax + 10 − 14,04·0,5735 = 0
Ax = −1,95 kN → |Ax| = 1,95 kN
Risposta
Ax = 1,95 kN
Il segno meno significa che Ax punta verso sinistra.
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.
Reazioni vincolari
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: RB·L − M0 = 0. Equilibrio verticale: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/8 = 5 kN (verso l’alto)
RA = −RB = −5 kN (verso il basso)
Taglia immediatamente a destra della coppia
Ora la parte sinistra contiene RA e la coppia.
Mx = RA·a + M0 = −5·7 + 40 = 5 kN·m
Risposta
Mx = 5 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 52,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·3 + 5·4·2
RB = 220/4 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 55 = 25 kN
Dove è V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 10 kN
V(3⁺) = 10 − 60 = −50 kN
Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.
Momento massimo
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 25·3 − 5·3²/2 = 52,5 kN·m
Risposta
Mmax = 52,5 kN·m
Si trova in x = 3 m da A.
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 3,052 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in rettangoli
Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.
base: A1 = 220·8 = 1760 mm², y1 = 4 mm
due ali: A2 = 2·8·92 = 1472 mm², y2 = 8 + 92/2 = 54 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali
I due vuoti insieme sono larghi (B − tw) e alti hw = H − 2tf, e hanno lo stesso asse x.