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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il valore di k per cui i vettori a = (3, −5, 5) e b = (−6, k, −4) sono perpendicolari.
a = (3, −5, 5)b = (−6, k, −4)
k =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Per a = (−6, −6, −5) e b = (3, 3, 4), trova la componente x (a × b)x del prodotto vettoriale a × b.
a = (−6, −6, −5)b = (3, 3, 4)
(a × b)x =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Porta un carico concentrato P a 4 m da A e una coppia oraria M a 5 m da A. Trova la reazione verticale RA, considerando positivo il verso verso l’alto.
L = 8 mP = 15 kN in 4 mM = 30 kN·m (oraria) in 5 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 1 m da A, inclinato di 50° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 7 m da A. Trova l’angolo α tra la reazione totale nella cerniera A e l’orizzontale.
L = 8 mP = 40 kN in 1 m, θ = 50°Q = 25 kN in 7 m
α = °
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
B: 30 kN ↓C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓
1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 6 maltezza = 2 mB è a 1 m da Acarico verticale = 15 kNcarico orizzontale = 20 kN ←
FAC = kN
7.Telai e macchineMedia
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m, con la cerniera al vertice C alta 4 m e il tirante orizzontale DE a 1,8 m dal suolo. Un carico verticale di 2 kN agisce sulla gamba AC in K, a 0,4 m (in orizzontale) da A. Trova la tensione T nel tirante.
P = 2 kNAB = 3,2 maltezza di C = 4 maltezza di DE = 1,8 mdistanza orizzontale da A a K = 0,4 m
T = kN
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3 m, con la cerniera al vertice C alta 2 m e il tirante orizzontale DE a 1,2 m dal suolo. Un carico verticale di 12 kN agisce sulla gamba AC in K, a 1,125 m (in orizzontale) da A. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.
P = 12 kNAB = 3 maltezza di C = 2 maltezza di DE = 1,2 mdistanza orizzontale da A a K = 1,125 m
C = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
Trova il taglio Vx nella sezione x = 5,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 10 mw = 6 kN/m da 0 a 10 mx = 5,5 m
Vx = kN
10.Taglio e momento flettenteDifficile
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 8 mP = 45 kN in 4 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una piastra di 200 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 72 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 200 mmh = 240 mmintaglio: 30 × 50 mmcentro del foro: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Soluzioni
1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: k = −7,6
Prodotto scalare:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.
Il prodotto scalare è uguale a zero
a·b = 3·(−6) + (−5)·k + 5·(−4) = 0
−38 + (−5)·k = 0
Risolvi per k
k = −(−38)/(−5) = −7,6
Risposta
k = −7,6
2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Risposta: (a × b)x = −9
Prodotto vettoriale:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è MO = r × F, con r = A − O.
Prodotto vettoriale, componente per componente
(a × b)x = aybz − azby = (−6)·4 − (−5)·3 = −9
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·3 − (−6)·4 = 9
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·3 − (−6)·3 = 0
Componente richiesta
(a × b)x = −9
Risposta
(a × b)x = −9
Controllo: a × b è perpendicolare a entrambi i vettori, quindi il suo prodotto scalare con a e con b è nullo.
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 3,75 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Momenti rispetto ad A
Positivo in senso antiorario.
ΣMA = 0: RB·8 − 15·4 − 30 = 0
RB = 90/8 = 11,25 kN
Equilibrio verticale
RA = 15 − 11,25 = 3,75 kN
Risposta
RA = 3,75 kN
Una reazione negativa agisce verso il basso.
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: α = 49,34 °
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Componenti di P
Pv = 40·sin 50° = 30,64 kN
Ph = 40·cos 50° = 25,71 kN
Reazioni
ΣMA = 0: RB·8 = 30,64·1 + 25·7 → RB = 25,71 kN
Ay = 30,64 + 25 − 25,71 = 29,94 kN
Ax = Ph = 25,71 kN
Direzione in A
α = atan(Ay/Ax) = atan(29,94/25,71) = 49,34°
Risposta
α = 49,34°
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
Nodo G
FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Verifica con il metodo dei nodi
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 − 20·2 → Cy = −4,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −4,167 = 19,17 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Telaio completo: momenti rispetto ad A
By = 2·0,4/3,2 = 0,25 kN
Gamba BC: momenti rispetto a C
0,25·1,6 = T·2,2
T = 0,1818 kN
Risposta
T = 0,1818 kN
8.Telai e macchine
Risposta: C = 9,563 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Reazione vincolare in B
By = 12·1,125/3 = 4,5 kN
Forza nel tirante
T = 4,5·1,5/0,8 = 8,438 kN
Forza sulla cerniera di BC
Cx = 8,438 kN, Cy = −4,5 kN
C = √(8,438² + 4,5²) = 9,563 kN
Risposta
C = 9,563 kN
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Vx = −3 kN
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, applicata in x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Taglia in x = 5,5 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
V = RA − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)
Vx = 30 − 6·5,5 = −3 kN
Risposta
Vx = −3 kN
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 90,63 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·4 + 5·8·4
RB = 340/8 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 42,5 = 42,5 kN
Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 42,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 90,63 kN·m
Risposta
Mx = 90,63 kN·m
11.Baricentro e momento d’inerzia
Risposta: Ix = 4,069 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (48000·120 − 1500·72)/(48000 − 1500) = 121,5 mm