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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova l’angolo θ tra i vettori a = (−5, 2, 4) e b = (5, −6, 0), in gradi.

a = (−5, 2, 4)b = (5, −6, 0)

θ = °

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (3, 4, −5) sia a b = (2, −3, −2) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂_y.

a = (3, 4, −5)b = (2, −3, −2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 8 mP₁ = 35 kN in 2 mP₂ = 10 kN in 4 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 4 mP = 45 kN in 1 mw = 2 kN/m da 0 a 4 m

R_B = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 5 maltezza = 2 mB è a 4 m da Acarico verticale = 35 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 4 m da Acarico verticale = 50 kNcarico orizzontale = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Telai e macchineMedia

La leva a squadra mostrata ruota attorno al perno O. Una forza verticale di 200 N in A (100 mm da O) è equilibrata da una forza orizzontale in B (60 mm sopra O). Trova il modulo della reazione sul perno F_O.

F = 200 NOA = 100 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.Telai e macchineDifficile

Un braccio orizzontale uniforme AB di peso 1 kN è incernierato a una parete in A e sostenuto da un cavo dall’estremità B al punto C sulla parete, 1,5 m sopra A. Un carico di 4 kN è appeso in B. Trova la tensione T nel cavo.

W = 4 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 1,5 m

T = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 3 kN/m da 0 a 10 mx = 3,5 m

V_x = kN

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 35 kN in 2 mw = 12 kN/m da 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_{in alto} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: θ = 134,9 °

Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, uno scalare. Fornisce l’angolo tra due vettori, cos θ = a·b/(|a|·|b|), ed è nullo quando i vettori sono perpendicolari. La proiezione scalare di a su b è a·b/|b|, e una forza costante F che compie uno spostamento d esegue il lavoro W = F·d.

Prodotto scalare

a·b = (−5)·5 + 2·(−6) + 4·0 = −37

Moduli

|a| = √((−5)² + 2² + 4²) = 6,708

|b| = √(5² + (−6)² + 0²) = 7,81

Angolo

cos θ = −37/(6,708·7,81) = −0,7062

θ = arccos(−0,7062) = 134,9°

Risposta

θ = 134,9°

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: n̂_y = 0,1385

Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) è perpendicolare a entrambi i vettori, e |a × b| = |a|·|b|·sin θ è l’area del parallelogramma che essi generano (il triangolo ne ha la metà). L’ordine conta: b × a = −(a × b). Il momento di una forza F applicata nel punto A rispetto al punto O è M_O = r × F, con r = A − O.

Prodotto vettoriale

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−2) − (−5)·(−3) = −23

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·2 − 3·(−2) = −4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−3) − 4·2 = −17

Normalizza

La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).

|a × b| = √((−23)² + (−4)² + (−17)²) = 28,88

n̂ = −(−23, −4, −17)/28,88 = (0,7964, 0,1385, 0,5887)

n̂_y = 0,1385

Risposta

n̂_y = 0,1385

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 31,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·2 + 10·4

R_B = 110/8 = 13,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 13,75 = 31,25 kN

Risposta

R_A = 31,25 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 15,25 kN

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 2·4·2

R_B = 61/4 = 15,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 15,25 = 37,75 kN

Risposta

R_B = 15,25 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 14 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·4 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 28 = 7 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,8944 = −31,3 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−31,3)·0,4472 = 14 kN

Risposta

F_AC = 14 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −29,81 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·4 − 10·4 → C_y = 26,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 26,67 = 23,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,67/0,8944 = −29,81 kN

Risposta

F_BC = −29,81 kN (compressione)

7.Telai e macchine

Risposta: F_O = 388,7 N

Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e F_in·a = F_out·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).

Forza in B

Q = 200·100/60 = 333,3 N

Reazione sul perno

O_x = 333,3 N, O_y = 200 N

F_O = √(333,3² + 200²) = 388,7 N

Risposta

F_O = 388,7 N

8.Telai e macchine

Risposta: T = 18,55 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Angolo del cavo

BC = √(6² + 1,5²) = 6,185 m, sin β = 0,2425

Momenti rispetto ad A

T·0,2425·6 = 4·6 + 1·3

T = 18,55 kN

Risposta

T = 18,55 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 4,5 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 15 − 3·3,5 = 4,5 kN

Risposta

V_x = 4,5 kN

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 78 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 12·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 44 = 51 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 51·2 − 12·2·1 = 78 kN·m

Risposta

M_x = 78 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 3,29 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

anima: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·112,5 + 800·50)/3800 = 99,34 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·25³/12 + 3000·(112,5 − 99,34)² = 675641 mm⁴

anima: 8·100³/12 + 800·(50 − 99,34)² = 2,614 × 10⁶ mm⁴

I_x = 675641 + 2,614 × 10⁶ = 3,29 × 10⁶ mm⁴ = 3,29 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 3,29 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 80 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

anima: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·135 + 2400·60)/6000 = 105 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·30³/12 + 3600·(135 − 105)² = 3,51 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·120³/12 + 2400·(60 − 105)² = 7,74 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,51 × 10⁶ + 7,74 × 10⁶ = 1,125 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 150 − 105 = 45 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·45/1,125 × 10⁷ = 80 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 80 MPa

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