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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova il valore di k per cui i vettori a = (5, 6, 0) e b = (k, −3, −6) sono perpendicolari.

a = (5, 6, 0)b = (k, −3, −6)

k =

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Trova l’area A del triangolo con vertici A(3, 2, 3), B(−4, 1, −2) e C(3, 4, 0). Le coordinate sono in metri.

A(3, 2, 3)B(−4, 1, −2)C(3, 4, 0)

A = m²

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che cresce da zero in A fino a 12 kN/m in B. Agisce anche un carico concentrato P a 3,5 m da A. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 10 kN in 3,5 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 5 m da A, inclinato di 50° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 1 m da A. Trova il modulo della reazione totale R_A nella cerniera A.

L = 6 mP = 45 kN in 5 m, θ = 50°Q = 30 kN in 1 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_AC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 2 mB è a 2 m da Acarico verticale = 50 kN

F_AC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ←

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta BG
13asta DG

7.Telai e macchineMedia

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 3,2 m. Le gambe si incontrano nella cerniera C, alta 2 m, e il tirante orizzontale DE è a 1 m dal suolo. Un carico di 10 kN agisce in C. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.

P = 10 kNAB = 3,2 maltezza di C = 2 maltezza di DE = 1 m

C = kN

8.Telai e macchineDifficile

La trave AB della mensola a muro mostrata è incernierata in A e sostenuta dal puntone CD (C è 0,75 m sotto A). La trave porta un carico uniforme di 1,5 kN/m su tutta la lunghezza e un carico concentrato di 3 kN all’estremità libera B. Trova la forza F_CD nel puntone.

w = 1,5 kN/mP = 3 kNAD = 0,75 mAB = 1,5 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 45 kN·m in x = 6 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mM₀ = 45 kN·m orario, in 6 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 2 mw = 12 kN/m da 0 a 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_{in alto} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: k = 3,6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Il prodotto scalare è uguale a zero

a·b = 5·k + 6·(−3) + 0·(−6) = 0

−18 + 5·k = 0

Risolvi per k

k = −(−18)/5 = 3,6

Risposta

k = 3,6

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: A = 14,2 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vettori dei lati

AB = B − A = (−7, −1, −5)

AC = C − A = (0, 2, −3)

Prodotto vettoriale

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·(−3) − (−5)·2 = 13

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·0 − (−7)·(−3) = −21

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−7)·2 − (−1)·0 = −14

|AB × AC| = √(13² + (−21)² + (−14)²) = 28,39

Area del triangolo

A = ½·28,39 = 14,2 m²

Risposta

A = 14,2 m²

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 9,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.

Risultante del carico triangolare

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2,667 + 10·3,5

R_B = 24,75 kN

R_A = 34 − 24,75 = 9,25 kN

Risposta

R_A = 9,25 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 42,21 kN

Componenti di P

P_v = 45·sin 50° = 34,47 kN

P_h = 45·cos 50° = 28,93 kN

Reazioni

ΣM_A = 0: R_B·6 = 34,47·5 + 30·1 → R_B = 33,73 kN

A_y = 34,47 + 30 − 33,73 = 30,75 kN

A_x = P_h = 28,93 kN

Risultante in A

R_A = √(28,93² + 30,75²) = 42,21 kN

Risposta

R_A = 42,21 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_AC = 33,33 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,67/0,4472 = −37,27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−37,27)·0,8944 = 33,33 kN

Risposta

F_AC = 33,33 kN (trazione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo C

BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 12,19 kN (T), BC: 15,62 kN (T), CD: 15,62 kN (T), DE: 19,06 kN (T), FG: 22,19 kN (C), GH: 29,06 kN (C), AF: 36,98 kN (C), HE: 31,77 kN (C), BF: 4,583 kN (T), CG: 0, DH: 25,42 kN (T), BG: 5,729 kN (C), DG: 5,729 kN (T)

Risposta

Asta scarica: CG

7.Telai e macchine

Risposta: C = 9,434 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel tirante dalla gamba BC

B_y = 5 kN

T = 5·1,6/1 = 8 kN

Componenti della forza sulla cerniera di BC

C_x = T = 8 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Modulo

C = √(8² + 5²) = 9,434 kN

Risposta

C = 9,434 kN

8.Telai e macchine

Risposta: F_CD = 11,67 kN

Risultante del carico uniforme

w·L = 1,5·1,5 = 2,25 kN in 0,75 m

Momenti rispetto ad A per la trave

F_CD·0,7071·0,75 = 2,25·0,75 + 3·1,5 = 6,188 kN·m

F_CD = 11,67 kN

Risposta

F_CD = 11,67 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −33,75 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/8 = 5,625 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −5,625 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −5,625·6 = −33,75 kN·m

Risposta

M_x = −33,75 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 139,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·2 + 12·8·4

R_B = 474/8 = 59,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 59,25 = 81,75 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 81,75·2 − 12·2·1 = 139,5 kN·m

Risposta

M_x = 139,5 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 20,65 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

anima: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·230 + 1760·110)/3760 = 173,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·20³/12 + 2000·(230 − 173,8)² = 6,377 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·220³/12 + 1760·(110 − 173,8)² = 1,427 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,377 × 10⁶ + 1,427 × 10⁷ = 2,065 × 10⁷ mm⁴ = 20,65 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 20,65 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 117,7 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

anima: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 4320·120)/6120 = 157,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 157,5)² = 1,461 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·240³/12 + 4320·(120 − 157,5)² = 2,681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,461 × 10⁷ + 2,681 × 10⁷ = 4,142 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 255 − 157,5 = 97,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·97,5/4,142 × 10⁷ = 117,7 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 117,7 MPa

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