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1Formule e metodi
Vettori: prodotto scalare e vettoriale
Modulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Versore
û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Prodotto scalare
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b
a·b/|b|
Lavoro
W = F·d
Prodotto vettoriale
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aree
parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O
MO = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo
V = |a·(b × c)|
Metodo
Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.
Reazioni vincolari delle travi
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Momento
M = F·d
Metodo
Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣFy = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.
Travatura: metodo dei nodi
Metodo dei nodi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metodo delle sezioni
ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta
positivo = trazione, negativo = compressione
Metodo
Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.
Telai e macchine
Equilibrio di ogni elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Asta a due forze
forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera
uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera
F = √(Fx² + Fy²)
Leva, pinza, leva a squadra
Fin·a = Fout·b
Ginocchiera
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme
risultante w·L al centro del carico
Metodo
Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣFx = 0 e ΣFy = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.
Taglio e momento flettente
Taglio e momento
V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione
σ = M·y/I
Rettangolo
I = bh³/12
Modulo di resistenza
W = I/ymax
Trave appoggiata, carico uniforme
Mmax = wL²/8
Metodo
Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.
Baricentro e momento d’inerzia
Baricentro
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rettangolo
I = bh³/12
Teorema del trasporto
I = Ic + A·d²
Sezione composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Esercizi
1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia
Trova il prodotto scalare a·b di a = (−4, −5, 2) e b = (−7, −2, 1).
a = (−4, −5, 2)b = (−7, −2, 1)
a·b =
2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile
Trova l’area A del parallelogramma generato da a = (−4, 4, 2) e b = (6, 1, 0).
a = (−4, 4, 2)b = (6, 1, 0)
A =
3.Reazioni vincolari delle traviMedia
La trave semplicemente appoggiata (cerniera in A, carrello in B) porta un carico linearmente variabile che cresce da zero in A fino a 6 kN/m in B. Agisce anche un carico concentrato P a 3,5 m da A. Trova la reazione vincolare verticale RA.
L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 75 kN in 3,5 m
RA = kN
4.Reazioni vincolari delle traviDifficile
Una trave composta è incastrata alla parete in A, ha una cerniera interna in C (a 2,5 m da A) e poggia su un carrello in D (a 6 m da A). Porta un carico concentrato P a 5,5 m da A, un carico uniformemente distribuito w su tutto il tratto CD e un carico concentrato Q a 0,5 m da A. Trova il modulo del momento di reazione MA alla parete.
AC = 2,5 mAD = 6 mP = 50 kN in 5,5 mw = 5 kN/m da 2,5 a 6 mQ = 55 kN in 0,5 m
MA = kN·m
5.Travatura: metodo dei nodiMedia
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAC nell’asta AC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 5 maltezza = 4 mB è a 1 m da Acarico verticale = 35 kN
FAC = kN
6.Travatura: metodo dei nodiDifficile
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
luce = 4 maltezza = 3 mB è a 3 m da Acarico verticale = 60 kNcarico orizzontale = 10 kN ←
FAB = kN
7.Telai e macchineMedia
Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 10° con la retta AC. Una forza verso il basso di 150 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.
F = 150 Nθ = 10°
Q = N
8.Telai e macchineDifficile
Il telaio mostrato ha cerniere in A, B e C; A e C sono fissate al suolo a 8 m di distanza, e B è alta 2,5 m e 4,8 m a destra di A. L’elemento AB porta un carico verticale di 5 kN in K, a 2,88 m (in orizzontale) da A, e un carico orizzontale di 10 kN verso destra agisce in B sull’elemento AB. Trova il modulo della reazione orizzontale Ax in A.
P = 5 kNQ = 10 kNL = 8 mH = 2,5 mdistanza orizzontale da A a B = 4,8 mdistanza orizzontale da A a K = 2,88 m
Ax = kN
9.Taglio e momento flettenteMedia
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
L = 6 mw = 10 kN/m da 0 a 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
10.Taglio e momento flettenteDifficile
La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo Mmax nella trave.
L = 6 mw = 24 kN/m da 3 a 6 m
Mmax = kN·m
11.Baricentro e momento d’inerziaMedia
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile
Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 30 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo Mallow che la trave può sopportare.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Prodotto vettoriale
(a × b)x = aybz − azby = 4·0 − 2·1 = −2
(a × b)y = azbx − axbz = 2·6 − (−4)·0 = 12
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·1 − 4·6 = −28
Area
A = |a × b| = √((−2)² + 12² + (−28)²) = 30,53
Risposta
A = 30,53
3.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: RA = 27,5 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Risultante del carico triangolare
W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m
Equilibrio
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3,333 + 75·3,5
RB = 62,5 kN
RA = 90 − 62,5 = 27,5 kN
Risposta
RA = 27,5 kN
4.Reazioni vincolari delle travi
Risposta: MA = 67,23 kN·m
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio. Una cerniera interna non può trasmettere momento flettente, il che fornisce un’equazione in più: il momento rispetto alla cerniera delle forze su ciascun lato è nullo.
Tratto CD
La cerniera non trasmette momento, quindi i momenti rispetto a C sul solo tratto CD devono equilibrarsi.
W = 5·3,5 = 17,5 kN in 1,75 m da C
ΣMC = 0: RD·3,5 = 50·3 + 17,5·1,75
RD = 51,61 kN
VC = 67,5 − 51,61 = 15,89 kN
Tratto AC
La forza nella cerniera VC agisce verso il basso su AC (uguale e opposta alla sua azione su CD).
RA = 55 + 15,89 = 70,89 kN
MA = 55·0,5 + 15,89·2,5 = 67,23 kN·m
Risposta
MA = 67,23 kN·m
5.Travatura: metodo dei nodi
Risposta: FAC = 7 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·1 → Cy = 7 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 7 = 28 kN
Nodo C
Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.
sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 10·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 37,5 = 22,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Nodo A
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,7071 = −31,82 kN
Risposta
FAB = −31,82 kN (compressione)
7.Telai e macchine
Risposta: Q = 425,3 N
Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e Fin·a = Fout·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).
Equilibrio della cerniera B
2·Flink·sin 10° = 150
Flink = 431,9 N
Forza di serraggio
Q = Flink·cos 10° = 150/(2·tan 10°) = 425,3 N
Risposta
Q = 425,3 N
Il rapporto tra le forze Q/F = 2,836 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.
8.Telai e macchine
Risposta: Ax = 3,696 kN
Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.
Direzione di BC
BC = 4,061 m, cos = 0,788, sin = 0,6156
Telaio completo: momenti rispetto ad A
FBC·0,6156·8 = 5·2,88 + 10·2,5
FBC = 8 kN
Equilibrio orizzontale
Ax + 10 − 8·0,788 = 0
Ax = −3,696 kN → |Ax| = 3,696 kN
Risposta
Ax = 3,696 kN
Il segno meno significa che Ax punta verso sinistra.
9.Taglio e momento flettente
Risposta: Mx = 43,75 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, applicata in x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
M = RA·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)
Mx = 30·2,5 − 10·2,5·1,25 = 43,75 kN·m
Risposta
Mx = 43,75 kN·m
10.Taglio e momento flettente
Risposta: Mmax = 60,75 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.
Reazioni vincolari
Equilibrio dell’intera trave.
Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, applicata in x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 24·3·4,5
RB = 324/6 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 54 = 18 kN
Taglio nullo
Il taglio parte da RA, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.