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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Una forza costante F = (10, 5, 0) N agisce su un oggetto mentre si muove in linea retta dal punto A(−1, 4, 3) al punto B(−5, −1, 5). Le coordinate sono in metri. Trova il lavoro W compiuto dalla forza.

F = (10, 5, 0) NA(−1, 4, 3) mB(−5, −1, 5) m

W = J

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Trova l’area A del triangolo con vertici A(0, 0, −3), B(−1, −1, 0) e C(2, 0, 4). Le coordinate sono in metri.

A(0, 0, −3)B(−1, −1, 0)C(2, 0, 4)

A = m²

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 2 m dalla parete. Trova il modulo del momento di reazione M_A alla parete.

L = 4 mP = 45 kN in 2 mw = 6 kN/m da 0 a 4 m

M_A = kN·m

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_B.

L = 5 mP = 60 kN in 3,5 mw = 10 kN/m da 1 a 3 m

R_B = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓H: 35 kN ↓

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.

B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ←

1asta AB
2asta BC
3asta CD
4asta DE
5asta FG
6asta GH
7asta AF
8asta HE
9asta BF
10asta CG
11asta DH
12asta FC
13asta HC

7.Telai e macchineMedia

Una trave orizzontale AB è incernierata a una parete in A e sostenuta dal puntone CD, incernierato alla parete in C, 0,8 m sotto A. Un carico di 2 kN è appeso in B. Trascura i pesi. Trova il modulo della forza A sulla cerniera della trave in A.

P = 2 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Telai e macchineDifficile

Il telaio a A mostrato poggia su una cerniera in A e un carrello in B, distanti 2,4 m, con la cerniera al vertice C alta 4 m e il tirante orizzontale DE a 2 m dal suolo. Un carico verticale di 5 kN agisce sulla gamba AC in K, a 0,9 m (in orizzontale) da A. Trova il modulo della forza C che la cerniera C esercita sulla gamba BC.

P = 5 kNAB = 2,4 maltezza di C = 4 maltezza di DE = 2 mdistanza orizzontale da A a K = 0,9 m

C = kN

9.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 1 m35 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 55 kN in 1 mw = 8 kN/m da 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 40 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_{in alto} = MPa

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: W = −65 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Spostamento

d = B − A = (−5, −1, 5) − (−1, 4, 3) = (−4, −5, 2) m

Lavoro

W = F·d = 10·(−4) + 5·(−5) + 0·2 = −65 J

Risposta

W = −65 J

Lavoro negativo: la forza agisce per lo più contro il moto.

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: A = 7,45 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vettori dei lati

AB = B − A = (−1, −1, 3)

AC = C − A = (2, 0, 7)

Prodotto vettoriale

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·7 − 3·0 = −7

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·2 − (−1)·7 = 13

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·0 − (−1)·2 = 2

|AB × AC| = √((−7)² + 13² + 2²) = 14,9

Area del triangolo

A = ½·14,9 = 7,45 m²

Risposta

A = 7,45 m²

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: M_A = 138 kN·m

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale R_A e un momento di reazione M_A. ΣF_y = 0 dà R_A, e i momenti rispetto alla parete danno M_A = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m

Momento rispetto alla parete

M_A = P·a + W·x̄ = 45·2 + 24·2 = 138 kN·m

Risposta

M_A = 138 kN·m

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_B = 50 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 10·2·2

R_B = 250/5 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 50 = 30 kN

Risposta

R_B = 50 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta CG

Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.

Nodo G

FG e GH stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 10,61 kN (T), HC: 10,61 kN (C)

Risposta

Asta scarica: CG

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: asta DH

Nodo D

CD e DE stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Verifica con il metodo dei nodi

Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).

AB: 16,25 kN (T), BC: 16,25 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 26,52 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 30,05 kN (T), HC: 26,52 kN (T)

Risposta

Asta scarica: DH

7.Telai e macchine

Risposta: A = 4,138 kN

Telai e macchine: a differenza di una travatura reticolare, un telaio contiene almeno un elemento che porta forze in più di due punti, o un carico tra le sue cerniere. Cerca prima le aste a due forze: un elemento caricato solo in due cerniere ha la forza lungo la retta che le unisce, quindi aggiunge una sola incognita, non due. Poi usa l’intera struttura per le reazioni vincolari quando le incognite non sono più di tre. Infine smonta il telaio: disegna ogni elemento a parte, con le forze sulle cerniere uguali e opposte sui due elementi che collegano, e scrivi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 per esso. Prendere i momenti rispetto a una cerniera elimina dall’equazione entrambe le componenti della forza su quella cerniera.

Forza nel puntone

F_CD = 2·1,5/(0,7071·0,8) = 5,303 kN

Componenti in A

A_x = F_CD·cos α = 3,75 kN (verso la parete)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −1,75 kN

Modulo

A = √(3,75² + −1,75²) = 4,138 kN

Risposta

A = 4,138 kN

Un A_y negativo significa che la parete tira la trave verso il basso in A.

8.Telai e macchine

Risposta: C = 2,187 kN

Reazione vincolare in B

B_y = 5·0,9/2,4 = 1,875 kN

Forza nel tirante

T = 1,875·1,2/2 = 1,125 kN

Forza sulla cerniera di BC

C_x = 1,125 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(1,125² + 1,875²) = 2,187 kN

Risposta

C = 2,187 kN

9.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 5 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 21,67, M_D = 25, M_E = 28,33, M_F = 31,67 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = 31,67 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 60 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 8·5·2,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 31 = 64 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 64·1 − 8·1·0,5 = 60 kN·m

Risposta

M_x = 60 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 23,45 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

anima: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·210 + 2000·100)/6400 = 175,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·20³/12 + 4400·(210 − 175,6)² = 5,346 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·200³/12 + 2000·(100 − 175,6)² = 1,81 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,346 × 10⁶ + 1,81 × 10⁷ = 2,345 × 10⁷ mm⁴ = 23,45 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 23,45 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 59,42 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

anima: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·192,5 + 2160·90)/9660 = 169,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·25³/12 + 7500·(192,5 − 169,6)² = 4,33 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·180³/12 + 2160·(90 − 169,6)² = 1,951 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,33 × 10⁶ + 1,951 × 10⁷ = 2,384 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 205 − 169,6 = 35,42 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·35,42/2,384 × 10⁷ = 59,42 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 59,42 MPa

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