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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Modulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Versore: û = a/|a|
Componenti a partire da un angolo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Prodotto scalare: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proiezione scalare di a su b: a·b/|b|
Lavoro: W = F·d
Prodotto vettoriale: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aree: parallelogramma |a × b|, triangolo ½|a × b|
Momento rispetto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volume di un parallelepipedo: V = |a·(b × c)|

Metodo

Scrivi ogni vettore in componenti; per una forza data da un modulo e un angolo, usa F·cos θ e F·sin θ.
Per lunghezze e direzioni usa il modulo √(x² + y² + z²) e il versore a/|a|.
Usa il prodotto scalare per angoli, proiezioni, perpendicolarità e lavoro: a·b = |a||b|cos θ.
Usa il prodotto vettoriale per vettori perpendicolari, aree e momenti: scrivi con cura le tre componenti, mantenendo l’ordine a × b.

Reazioni vincolari delle travi

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico
Momento: M = F·d

Metodo

Disegna un diagramma di corpo libero e sostituisci ogni vincolo con le sue reazioni.
Sostituisci ogni carico distribuito con un’unica forza applicata nel suo baricentro.
Calcola i momenti rispetto a un vincolo per trovare la reazione nell’altro.
Usa ΣF_y = 0 per trovare la reazione rimanente e verifica con una seconda equazione dei momenti.

Travatura: metodo dei nodi

Metodo dei nodi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metodo delle sezioni: ΣM = 0 about a cut point
Sforzo nell’asta: positivo = trazione, negativo = compressione

Metodo

Trova le reazioni vincolari dell’intera travatura reticolare.
Metodo dei nodi: parti da un nodo con al massimo due sforzi incogniti nelle aste e usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0.
Metodo delle sezioni (di Ritter): taglia l’asta che ti serve e calcola i momenti rispetto al punto in cui si incontrano le altre aste incognite.
Ipotizza trazione; una risposta negativa significa compressione.

Telai e macchine

Equilibrio di ogni elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Asta a due forze: forza lungo la retta passante per le sue due cerniere
Forza sulla cerniera: uguale e opposta sui due elementi che collega
Modulo della forza su una cerniera: F = √(F_x² + F_y²)
Leva, pinza, leva a squadra: F_in·a = F_out·b
Ginocchiera: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carico uniforme: risultante w·L al centro del carico

Metodo

Disegna l’intera struttura e trova le reazioni vincolari se le incognite non sono più di tre.
Individua le aste a due forze: caricate solo in due cerniere, la loro forza agisce lungo la retta che unisce le cerniere.
Smonta il telaio e disegna ogni elemento a parte, con forze sulle cerniere uguali e opposte dove gli elementi si incontrano.
Per ogni elemento, prendi i momenti rispetto a una cerniera con forze incognite, poi usa ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0; alla fine combina le componenti in un modulo.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Esercizi

1.Vettori: prodotto scalare e vettorialeMedia

Trova l’angolo θ tra i vettori a = (4, −2, −5) e b = (0, −1, −1), in gradi.

a = (4, −2, −5)b = (0, −1, −1)

θ = °

2.Vettori: prodotto scalare e vettorialeDifficile

Il versore n̂ è perpendicolare sia a a = (5, −2, 0) sia a b = (4, −2, −4) e ha componente z positiva. Trova la sua componente y n̂_y.

a = (5, −2, 0)b = (4, −2, −4)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reazioni vincolari delle traviMedia

La trave a mensola è incastrata alla parete in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 6 m dalla parete. Trova la reazione verticale R_A alla parete.

L = 8 mP = 10 kN in 6 mw = 6 kN/m da 0 a 8 m

R_A = kN

4.Reazioni vincolari delle traviDifficile

La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale R_A.

L = 4 mP = 55 kN in 1 mw = 2 kN/m da 0 a 2 m

R_A = kN

5.Travatura: metodo dei nodiMedia

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 6 maltezza = 4 mB è a 2 m da Acarico verticale = 30 kN

F_BC = kN

6.Travatura: metodo dei nodiDifficile

Usa il metodo dei nodi per trovare la forza F_BC nell’asta BC. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.

luce = 8 maltezza = 2 mB è a 3 m da Acarico verticale = 15 kNcarico orizzontale = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Telai e macchineMedia

Nel morsetto a ginocchiera mostrato, due bielle uguali AB e BC sono incernierate in B, e ciascuna forma un angolo di 12° con la retta AC. Una forza verso il basso di 200 N è applicata in B. Il cursore C preme su un pezzo. Trascurando attrito e pesi, trova la forza di serraggio orizzontale Q.

F = 200 Nθ = 12°

Q = N

8.Telai e macchineDifficile

Una pressa a ginocchiera ha due bielle uguali AB e BC, ciascuna lunga 120 mm tra le cerniere. Il giunto B sta 15 mm sopra la retta AC. Quale forza verso il basso F in B produce una forza di pressione orizzontale di 4000 N sul cursore C? Trascura attrito e pesi.

Q = 4000 NAB = BC = 120 mmh = 15 mm

F = N

9.Taglio e momento flettenteMedia

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1 m fino all’estremo libero C. Porta un carico concentrato P₁ tra gli appoggi e un carico concentrato P₂ in C. Trova il momento flettente M_x sotto il carico P₁. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 9 mP₁ = 10 kN in 1 mP₂ = 35 kN in 9 mappoggi in x = 0 e x = 8 m

M_x = kN·m

10.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 0 m10 kN @ 6 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 160 × 20 mm, un’anima alta 160 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 280 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 160 × 20 mmanima: 8 × 160 mmala inferiore: 280 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Soluzioni

1.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: θ = 42,45 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Prodotto scalare

a·b = 4·0 + (−2)·(−1) + (−5)·(−1) = 7

Moduli

|a| = √(4² + (−2)² + (−5)²) = 6,708

|b| = √(0² + (−1)² + (−1)²) = 1,414

Angolo

cos θ = 7/(6,708·1,414) = 0,7379

θ = arccos(0,7379) = 42,45°

Risposta

θ = 42,45°

2.Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Risposta: n̂_y = −0,9245

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Prodotto vettoriale

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−4) − 0·(−2) = 8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·4 − 5·(−4) = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−2) − (−2)·4 = −2

Normalizza

La componente z di a × b è negativa, quindi usa −(a × b).

|a × b| = √(8² + 20² + (−2)²) = 21,63

n̂ = −(8, 20, −2)/21,63 = (−0,3698, −0,9245, 0,09245)

n̂_y = −0,9245

Risposta

n̂_y = −0,9245

3.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 58 kN

Equilibrio della mensola: un incastro può spingere verso l’alto e anche impedire la rotazione, quindi dà una reazione verticale R_A e un momento di reazione M_A. ΣF_y = 0 dà R_A, e i momenti rispetto alla parete danno M_A = Σ(carico × distanza dalla parete). Un carico distribuito agisce come la sua risultante nel baricentro del diagramma di carico.

Risultante del carico distribuito

W = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m

Equilibrio verticale

R_A = P + W = 10 + 48 = 58 kN

Risposta

R_A = 58 kN

4.Reazioni vincolari delle travi

Risposta: R_A = 44,25 kN

Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.

Diagramma di corpo libero

Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.

Equilibrio

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, applicata in x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 2·2·1

R_B = 59/4 = 14,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 14,75 = 44,25 kN

Risposta

R_A = 44,25 kN

5.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = −14,14 kN

Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣF_x = 0 e ΣF_y = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,7071 = −14,14 kN

Risposta

F_BC = −14,14 kN (compressione)

6.Travatura: metodo dei nodi

Risposta: F_BC = 5,049 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·3 − 30·2 → C_y = −1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −1,875 = 16,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Nodo C

Il carrello dà solo una reazione verticale, quindi il nodo C ha solo due forze incognite nelle aste. Supponi entrambe in trazione.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,875/0,3714 = 5,049 kN

Risposta

F_BC = 5,049 kN (trazione)

7.Telai e macchine

Risposta: Q = 470,5 N

Macchine: pinze, leve, leverismi e morsetti trasformano una forza in ingresso in una forza in uscita più grande o con direzione diversa. Disegna una parte come corpo libero e prendi i momenti rispetto al suo perno: la forza sulla cerniera scompare, e F_in·a = F_out·b dà il vantaggio meccanico a/b. La forza sulla cerniera segue poi da ΣF = 0 sulla stessa parte. In una ginocchiera due bielle si incontrano con un angolo piccolo θ; ogni biella è un’asta a due forze, quindi una piccola forza F nel giunto crea grandi forze nelle bielle F/(2 sin θ) e una forza di serraggio F/(2 tan θ).

Equilibrio della cerniera B

2·F_link·sin 12° = 200

F_link = 481 N

Forza di serraggio

Q = F_link·cos 12° = 200/(2·tan 12°) = 470,5 N

Risposta

Q = 470,5 N

Il rapporto tra le forze Q/F = 2,352 cresce senza limite quando le bielle si raddrizzano.

8.Telai e macchine

Risposta: F = 1008 N

Angolo della biella

sin θ = 15/120 = 0,125, θ = 7,181°

Forza nella biella

F_link = Q/cos θ = 4032 N

Forza in B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1008 N

Risposta

F = 1008 N

9.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 4,375 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave. Anche il carico sullo sbalzo dà momento rispetto ad A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·1 + 35·9

R_B = 325/8 = 40,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 40,63 = 4,375 kN

Taglia sotto P₁ e tieni la parte sinistra

M_x = R_A·1 = 4,375·1 = 4,375 kN·m

Risposta

M_x = 4,375 kN·m

10.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 47 kN, R₂ = 17 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = −16, M_D = −8, M_E = −6, M_F = −10, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −30 kN·m

11.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 38,19 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

anima: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·227,5 + 3960·110)/6660 = 157,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·15³/12 + 2700·(227,5 − 157,6)² = 1,323 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·220³/12 + 3960·(110 − 157,6)² = 2,496 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,323 × 10⁷ + 2,496 × 10⁷ = 3,819 × 10⁷ mm⁴ = 38,19 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 38,19 × 10⁶ mm⁴

12.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 53,65 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 3200 mm², y = 182 mm

anima: A = 1280 mm², y = 92 mm

ala inferiore: A = 3360 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (3200·182 + 1280·92 + 3360·6)/7840 = 91,88 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 160·20³/12 + 3200·90,12² = 2,61 × 10⁷ mm⁴

anima: 8·160³/12 + 1280·0,1224² = 2,731 × 10⁶ mm⁴

ala inferiore: 280·12³/12 + 3360·85,88² = 2,482 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,61 × 10⁷ + 2,731 × 10⁶ + 2,482 × 10⁷

I_x = 5,365 × 10⁷ mm⁴ = 53,65 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 53,65 × 10⁶ mm⁴

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1Formule e metodi

Vettori: prodotto scalare e vettoriale

Metodo

Reazioni vincolari delle travi

Metodo

Travatura: metodo dei nodi

Metodo

Telai e macchine

Metodo

Taglio e momento flettente

Metodo

Baricentro e momento d’inerzia

2Esercizi

3Soluzioni

Prodotto scalare

Moduli

Angolo

Risposta

Prodotto vettoriale

Normalizza

Risposta

Risultante del carico distribuito

Equilibrio verticale

Risposta

Diagramma di corpo libero

Equilibrio

Risposta

Reazioni vincolari

Nodo C

Risposta

Reazioni vincolari

Nodo C

Risposta

Equilibrio della cerniera B

Forza di serraggio

Risposta

Angolo della biella

Forza nella biella

Forza in B

Risposta

Reazioni vincolari

Taglia sotto P1 e tieni la parte sinistra

Risposta

Reazioni vincolari

Momento flettente in ogni punto

Risposta

Dividi in due rettangoli

Baricentro

Teorema del trasporto

Risposta

Dividi in tre rettangoli

Baricentro

Teorema del trasporto

Risposta

Taglia sotto P₁ e tieni la parte sinistra